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时间：2019-03-03
《09-10高等数学(上)期中试题及答案03》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、09-10高等数学A上期中考试试题及参考答案2009/11/27-、填空题sinx-tanxlim；X->()Y'2.已知/(0)=0,厂(0)=k{},则lim血=%.x-》0x3.函数/(x)=ex-sinx-2+x2在区间(-oo,+oo)上的最小值为4.函数/⑴二蔦一］"¥，其中°为常数，已知/⑴在兀=2处连续，则a=x—1，X>2.4o5.limXT00・11・、xsin—+—sinxx=1+0=1二.选择题1.当x>0时，若fx)>gx),则当X>0时（D）•⑷f(x)>g(x);⑻/(x)>g(x);(C)fM2、/（力=2"+3“—2,则当兀TO时,有（B）.⑷/⑴与/是等价无穷小；（B）/⑴与x同阶但非等价无穷小;（C）f（x）是比x高阶的无穷小；（D）/（x）是比x低阶的无穷小.3.设在［0,1］上八x)>0,则广(0),/1),/(1)-/(0)或/(0)-/⑴几个数的大小顺序为(B)・(A).广(1)>广(0)>/⑴-/(0);(B)•广⑴>/(1)一/(0)〉广(0);(0./(I)-/(0)>广⑴>广(0)；(D)./XI)>/(0)—/⑴>广(0)・4.若在(恥)内，函斷⑴的一阶导数f(x)>0,二阶导数厂(兀)<0,则函数/(兀)在此区间内(D)・(A)•单调减少，3、曲线是凹的；(B).单调减少，曲线是凸的；(0.单调增加，曲线是凹的；(D)•单调增加，曲线是凸的.5•设/(X)在兀=。处可导，贝iJlim/(a+X)~/(a~X)等于(B)・(A)•广(°);(B)・2/a);(C).O;(D).广(2°)•6.广(忑)=0是可导函数/⑴在勺处有极值的(A)・(A)必要条件；(B)充分条件；(0充要条件；(D)非充分又非必耍条件.7.函数/(x)=(x2-x-2)lx3-xl不可导点的个数是【B】・(A)3(B)2(C)1(D)0.8•设函数/(x)的导数在x=°处连续,又limXT"x-a-1,则(A)x=a是/(x)的极小值点;(B4、)x-a是/(兀)的极大值点;(C)(°,/⑷)是曲线y=/(x)的拐点;(D)x=a不是/(兀)的极值点，仏/⑷)也不是曲线y=/(x)的拐点。9.以下条件中(B)是函数/(x)在X。处有导数的必妾且充分条件.(A)/(X)在xo处连续；(B)/⑴在兀。处可微分;(C)lim/(xo+Ar)-/(xo-Ar)存在；①)恤广⑴存在•axtoAy9.已知/(兀)=—^―,则工=1是于(兀)的O(x-1)(A)跳跃间断点；(B)振荡间断点；(C)可去间断点；(D)无穷间断点。三、计算下列极限Q1Y1仝1•解：lim(—)5x=lim(l+——)(2+x)2+x=e5x工一1丿li5、m“aIinx“x-I-xlnx=limXTl(x-l)lnx2+XXT82+X2.求lim——xTi'lnx..-xlnx=hmsi*Inx+x—1“lnx+1=-limsilnx+23./设limx-Kox2*+lx+12、一ax_b(2!、X+1/limax-b=limX->007+1丿X->00^丿解、-ax-h=lim(1-a)x-1-b+XTQO=limxtO1-—x+—x4+o(x°)1-—X2+——兀4+0(X4)2!4!..2!2!4.+O(*)“cosx-e2limxtOx4=limxtO112四.设X]=10,x”+i=Jx”+6(z?=l,2,…)，证6、明数列｛aJ收敛，并求此极限.分析利用百+]和乙的递推关系证明亿｝单调有界，从而证明lim兀"存在，再取极限.7?->CO证先用归纳法证明｛耳｝单调减少.由兀]=1(),兀“+】=Jx”+6得，兀2=a/10+6=4,即X,>x2.假设n-kll^t,xk>xk+i，由兀t+i=+6〉Jx&+】+6=忑+2，即n=k+1时不等式仍成立,所以百>百+心=1,2,…).再由£+i=上+6>0知&”｝有下界，故&”｝单调减少有下界,即limx”存在.设limxn=A,在等式x；严兀”+6两边取极限，得力2=/+6解出力=3或力=一2(舍去)，故limx”=3.〃一>8五、计算下列函7、数的导数1.设lx=z_ln(1+z2)[y=arctant,求型dxyd2ydxydx2•解:xf(t)=1-12t1+/2-(l-o21+/2必)=丄1dy_i+/21dx~(l-/)2一(I®91+/2d&_d1df_21+八_2(1+尸)d?~d/((l-r)2)d7~(l-r)3(1-r)2~(l-/)5解对兀求导得，空二qdxx+尹、si)、3・设y=x%,求尹‘•两边关于x求导,心1.1lnx1、=xx(—sincos—)xxxx/Sin丄1・1lnx1、所以y=xr(—sincos—)X
2、/（力=2"+3“—2,则当兀TO时,有（B）.⑷/⑴与/是等价无穷小；（B）/⑴与x同阶但非等价无穷小;（C）f（x）是比x高阶的无穷小；（D）/（x）是比x低阶的无穷小.3.设在［0,1］上八x)>0,则广(0),/1),/(1)-/(0)或/(0)-/⑴几个数的大小顺序为(B)・(A).广(1)>广(0)>/⑴-/(0);(B)•广⑴>/(1)一/(0)〉广(0);(0./(I)-/(0)>广⑴>广(0)；(D)./XI)>/(0)—/⑴>广(0)・4.若在(恥)内，函斷⑴的一阶导数f(x)>0,二阶导数厂(兀)<0,则函数/(兀)在此区间内(D)・(A)•单调减少，
3、曲线是凹的；(B).单调减少，曲线是凸的；(0.单调增加，曲线是凹的；(D)•单调增加，曲线是凸的.5•设/(X)在兀=。处可导，贝iJlim/(a+X)~/(a~X)等于(B)・(A)•广(°);(B)・2/a);(C).O;(D).广(2°)•6.广(忑)=0是可导函数/⑴在勺处有极值的(A)・(A)必要条件；(B)充分条件；(0充要条件；(D)非充分又非必耍条件.7.函数/(x)=(x2-x-2)lx3-xl不可导点的个数是【B】・(A)3(B)2(C)1(D)0.8•设函数/(x)的导数在x=°处连续,又limXT"x-a-1,则(A)x=a是/(x)的极小值点;(B
4、)x-a是/(兀)的极大值点;(C)(°,/⑷)是曲线y=/(x)的拐点;(D)x=a不是/(兀)的极值点，仏/⑷)也不是曲线y=/(x)的拐点。9.以下条件中(B)是函数/(x)在X。处有导数的必妾且充分条件.(A)/(X)在xo处连续；(B)/⑴在兀。处可微分;(C)lim/(xo+Ar)-/(xo-Ar)存在；①)恤广⑴存在•axtoAy9.已知/(兀)=—^―,则工=1是于(兀)的O(x-1)(A)跳跃间断点；(B)振荡间断点；(C)可去间断点；(D)无穷间断点。三、计算下列极限Q1Y1仝1•解：lim(—)5x=lim(l+——)(2+x)2+x=e5x工一1丿li
5、m“aIinx“x-I-xlnx=limXTl(x-l)lnx2+XXT82+X2.求lim——xTi'lnx..-xlnx=hmsi*Inx+x—1“lnx+1=-limsilnx+23./设limx-Kox2*+lx+12、一ax_b(2!、X+1/limax-b=limX->007+1丿X->00^丿解、-ax-h=lim(1-a)x-1-b+XTQO=limxtO1-—x+—x4+o(x°)1-—X2+——兀4+0(X4)2!4!..2!2!4.+O(*)“cosx-e2limxtOx4=limxtO112四.设X]=10,x”+i=Jx”+6(z?=l,2,…)，证
6、明数列｛aJ收敛，并求此极限.分析利用百+]和乙的递推关系证明亿｝单调有界，从而证明lim兀"存在，再取极限.7?->CO证先用归纳法证明｛耳｝单调减少.由兀]=1(),兀“+】=Jx”+6得，兀2=a/10+6=4,即X,>x2.假设n-kll^t,xk>xk+i，由兀t+i=+6〉Jx&+】+6=忑+2，即n=k+1时不等式仍成立,所以百>百+心=1,2,…).再由£+i=上+6>0知&”｝有下界，故&”｝单调减少有下界,即limx”存在.设limxn=A,在等式x；严兀”+6两边取极限，得力2=/+6解出力=3或力=一2(舍去)，故limx”=3.〃一>8五、计算下列函
7、数的导数1.设lx=z_ln(1+z2)[y=arctant,求型dxyd2ydxydx2•解:xf(t)=1-12t1+/2-(l-o21+/2必)=丄1dy_i+/21dx~(l-/)2一(I®91+/2d&_d1df_21+八_2(1+尸)d?~d/((l-r)2)d7~(l-r)3(1-r)2~(l-/)5解对兀求导得，空二qdxx+尹、si)、3・设y=x%,求尹‘•两边关于x求导,心1.1lnx1、=xx(—sincos—)xxxx/Sin丄1・1lnx1、所以y=xr(—sincos—)X
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