10-11高等数学(上)期中试题及答案 - 副本

《10-11高等数学(上)期中试题及答案 - 副本》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、10-11高等数学A上期中考试试题及参考答案2010/11/26一、填空题1．若，则.2.已知，则.3.=________.解.<<所以<<,(n®¥),(n®¥)所以=4.设为可导函数,,则_______.解.5．,则=_______.解.,假设,则,所以二、选择题1.设函数，且，则（C）。（A）0（B）（C）（D）2.设，则当时，是的（B）。（A）低阶无穷小量（B）同阶无穷小量（C）高阶无穷小量（D）等价无穷小量3.设，而连续但不可导，则处（C）。（A）连续但不可导；（B）可能可导，也可能不可导；（C）仅有一阶导数；（D）可能有二阶

2、导数。4.在点处的导数为(D)(A)1；(B)0；(C)；(D)不存在．5.设，其中在处可导，，则是的(C)(A)连续点；(B)第一类间断点；(C)第二类间断点；(D)不能确定．三、计算下列各题:1.求函数的间断点并判别类型.解.,所以x=0为第一类间断点.2.求极限解.3.设由方程所确定,求曲线在点(0,1)处的法线方程.解.上式二边求导.所以切线斜率.法线斜率为,法线方程为,即x－2y+2=0.4．设,则______.解.,．四、在实数范围内有多少个零点？分析由罗尔中值定理知，如果在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，

3、且有两个零点，则在(a,b)内至少有一个零点．反之若在(a,b)内无零点，则在(a,b)内至多有一个零点．本题要结合高阶导数．证因为f(x)在R上任意可导，有，，．推出至多有一个零点，进而推出至多有两个零点，因此f(x)在R上至多有三个零点．另一方面，又f(0)=f(1)=0，且，由介值定理知，存在，使．故有且只有三个零点x0=0，1，．其中．五、设在x=0的某领域内二阶可导,且,求及.解..所以.在x=0的某领域内二阶可导,所以在x=0连续.所以f(0)=－3.因为,所以,所以=由,将f(x)台劳展开,得,所以,于是.六、设，证明．分

4、析根据要证结论的形式，可考虑将其中的参数a或b换为变量x，转化为函数不等式利用单调性证明，也可考虑用拉格朗日中值定理．证法一设，则，，当x>e时，故单调减少，从而当时，，即当时，单调增加．因此当时，=0，即，故．证法二对函数在[a,b]上应用拉格朗日中值定理，得设，则，当t>e时，所以单调减少，由题设，及，有，即，故．七．设函数在[1,2]上有二阶导数,且==0,又=(x－1)2,证明:在(1,2)内至少存在一个x,使.证明:由于F(1)=F(2)=0,所以存在x1,1

5、(x)在点的某邻域内有三阶连续导数,如果是否为拐点？对于你的结论给予证明。解:因为,由极值的第一充分条件,的极值,不妨设为极小值,则在附近,再由极值的第二充分条件,不是极值.又因为的连续性,在>0,所以左负右正,故曲线在左凸右凹,故是拐点.