3、驻点，并判断它是否为极值点。X六(10分)设常数k>0,判断方程x--+k=0在(0,+oo)内实根的个数，并说明理由。ex=广+1七(10分)已知曲线厶的方程为■,(r>0),y=4t-r(1)讨论厶的凹凸性；(2)过点(-1,0)引厶的切线，求切线的方程。八(10分).设函数/⑴在［一1,1］具有三阶连续导数，且/(-1)=0,/(1)=1,广(0)=0,求证:在(-1,1)上存在一点§使广”©=3高等数学（上）期中试题参考答案一、单项选择和填空（共10小题，每题3分）1./（兀）在兀°的左、右极限存在且相等是/（兀）在该点连续的（）CA.充分目.必要的条
4、件C.必要非充分的条件B.充分非必要的条件D.既非充分也非必要的条件dx2•设y=兀？+兀,则〒=()dyv=2A.2B.43.函数/（兀）=x2-6x+8单调减少的区间是（）BA.(—oo,+oo)c.[-3,4-00)B.(-oo,3]D.[3,+oo)4•设y=(兀_1)(%-2)(兀-3),贝ljy(l)=()BA.OB.25.过原点作曲线y二J的切线，贝9：切线的方程为（C.3D.6)BA.y=eB.y=eC.y=x6•设f(x)=x(x・I)(x・2)(x・3),则:A.lB.2方程f'(x)=0,在(0,3)C.3D.4D.y=—x2内的根的个数为（
5、）C7.lim(Vn2+2n-n)=nT8&设f(x)二Jl+ax-1x2:鳥，在点口处连续，则：a=__.4(x)=2xsin2x+cos2xX210.曲线彳"皿力在（°」）处切线为y=e!cos2ty+2x-l=0二.(10分)求lim().xt()sinxex-1解:原式二limXT（）ex-1-sinxsinx(e*・I),・e-1・sinx=limXT()X2(・ex-cosx=limXTO2xex+sinx=limXTO2_1—12或者：原式=lim"yosxxt°cosx(ex-1)+sinx-exex+sinx=limxto-sinx(ex-1)+
6、2cosx•ex+sinx・ex(10分)•设兀=arctgt求dy_d2yy=ln(l+F)'dx"dx1卩L
7、(10分)2t■=l^L=2t1+卩dx2dx1dt1+八求函数/(x)=(2x-5)V^在闭区间［-1,2］上的最大值和最小值。•^•专吕，得驻点兀=1和不可导点x=0o2/(I)=-3,/(0)=0,/(-1)=-7,/⑵=一2亍,比较可得最大值为/(0)=0,最小值为/(-1)=-7.五(10分)设y=『(兀)由2y'-2b+2Ay-兀$=］确定，求y=y(x)的驻点,并判断它是否为极值点。解：6y2•y'-4y•y'+2y+2"-2x=0,令y
8、'=0得y=x代入方程：2x3-x2-1=0,得唯一驻点：x=l5分12y-(y)2+6)，•y*-4(yz)2-4y•y"+4y‘+2xy"-2=0所以，V=1=1>o,故"1为极小点。）=12X六(10分)设常数k>0,判断方程lnx-—+£=0在(0,+oo)内实根的个数，并说明理由。eX11解设f(x)=x-—^k,ff(x)=,当x>e时，fx)<0,f(x)单调减少；exe当0时，fx)>0,/(x)单调增加；5分InXk.又/(«)=£>0,lim/(x)=-oo,limf(兀)=limx(—)=一8,XT()~XTXoXTZ%£%所以，方
9、程在（0疋
