函数零点与一元二次方程根的分布

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1、函数零点与一元二次方程根的分布函数的零点：对于函数，把使的实数叫做函数的零点。零点存在性定理：如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根。函数与方程思想：若=与轴有交点()=0若=()与=()有交点(，)=有解。一元二次方程根的分布一、一元二次方程根的基本分布——零分布所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系。比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧。设一元二次方程（）的两个实根为，，且。【定理1】，(两个正根)

2、，推论：，或【定理2】，，推论：，或【定理3】【定理4】，且；，且。6函数零点与一元二次方程根的分布二．一元二次方程的非零分布——分布设一元二次方程（）的两实根为，，且。为常数。则一元二次方程根的分布（即，相对于的位置）有以下若干定理。【定理1】【定理2】。【定理3】。推论1。推论2。【定理4】有且仅有（或）【定理5】或6函数零点与一元二次方程根的分布【定理6】或三、例题【例1】若一元二次方程的两根都是负数，求的取值范围。【例2】在何范围内取值，一元二次方程有一个正根和一个负根？【例3】（1）已知方程的两实根都大于1，求的取值范围。（2）若一元二次方程的两个实根都大

3、于-1，求的取值范围。（3）若一元二次方程的两实根都小于2，求的取值范围。【例4】（1）已知方程有一根大于2，另一根比2小，求的取值范围。（2）已知方程有一实根在0和1之间，求的取值范围。例1、（或k>3）例2、（0<<3）例3、1、（）2、（）3、（）例4、1（）2（）6函数零点与一元二次方程根的分布函数零点与一元二次方程根的分布一、选择题1、已知=(－)(－)－2(<)，并且，是方程=0的两根(<)，则实数，，、的大小关系是()A、<<0)的两个根都大于1的充要条件是()A.△≥0且(1)>0B.(1)>0且－>

4、2C.△≥0且－>2，>1D.△≥0且(1)>0，－>2。3、函数在内（）（A）没有零点（B）有且仅有一个零点（C）有且仅有两个零点（D）有无穷多个零点4、已知是上最小正周期为2的周期函数，且当时,,则函数的图象在区间[0,6]上与轴的交点的个数为（）（A）6（B）7（C）8（D）95、设，二次函数的图象可能是（）6、设函数，若时，有，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.7、设二次函数的值域为的最大值为（）A．B．C．D．8．函数的零点所在的区间是（）(A)（-2,-1）(B)（-1,0）(C)（0,1）(D)（1,2）9．若函数在区间上的图象为连续不断的一条曲线

5、，则下列说法正确的是（）A．若，不存在实数使得；B．若，存在且只存在一个实数使得；C．若，有可能存在实数使得；D．若，有可能不存在实数使得；10．如果二次函数有两个不同的零点，则的取值范围是（）6函数零点与一元二次方程根的分布A．B．C．D．11．直线与函数的图象的交点个数为（）A．个B．个C．个D．个12．若方程在区间上有一根，则的值为（）A．B．C．D．二、填空题13、已知函数，若关于x的方程有两个不同的实根，则实数k的取值范围是________.14．函数的零点个数为。15．函数对一切实数都满足，并且方程有三个实根，则这三个实根的和为。16．若函数的零点个数为

6、，则______。三解答题17、已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m的范围.(2)若方程两根均在区间(0，1)内，求m的范围.18、若方程的两实根均在区间（、1）内，求的取值范围。19、若方程的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求的取值范围。20、若方程有两个不相同的实根，求的取值范围。21、若关于的方程有唯一的实根，求实数的取值范围。6函数零点与一元二次方程根的分布参考答案：一、选择题ADBADCCCCDAC二、填空题13（0,1）14、215、1.516、4三

7、解答题17、(1).(2)18、（）19、（）20、0<<121、提示：原方程等价于即令=+12+6+3(1)若抛物线=与轴相切，有△=144－4(6+3)=0即=。O－20－6将=代入式②有=－6不满足式①，∴≠。(2)若抛物线=与轴相交，注意到其对称轴为=－6，故交点的横坐标有且仅有一个满足式①的充要条件是解得。∴当时原方程有唯一解。另法：原方程等价于+20=8－6－3(<－20或>0)……③问题转化为：求实数的取值范围，使直线=8－6－3与抛物线=+20(<－20或>0)有且只有一个公共点。O－20－61633虽然两个函数图像都明确，但在什么条件下它们有且