高等代数(2)》试卷a答案

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1、重庆大学《高等代数（2）》课程试题（A卷）参考答案2005~2006学年第2学期考试时间：2006-6-22一、完成下列各小题（每小题7分，共28分）1.解：原二次型的矩阵是。………………(2分)要使二次型正定，则必须A的所有顺序主子式大于零，即,,。……………（3分）解得。于是当时原二次型正定。……………………………….（2分）2.证明：由题意知是的一组基，,是的一组基。………………………..（2分）因，故线性无关，从而是的一组基。因此。…………………………（2分）,则由有,再由有,故，从而。于是，所以。………..（3分）3.解：因为三级方阵有三个不同的特征值，

2、故可对角化，即存在可逆阵，使，于是可逆，且。……………..（2分）由的特征值为1，2，3可得的特征值为1，，。……………（2分）又因为,而因的特征值为6，3，2。…………………..（3分）4.证明：，下证A。，因是A的不变子空间，所以A。……………..（2分）再由A是对称变换，得A,A。…………………（3分）所以A，即A，从而是A的不变子空间。…………（2分）二、证明：设A和B是数域P上任意两个对称矩阵，k，l是数域P上任意两个数。因为。……………（3分）于是仍是对称矩阵，从而数域P上对称矩阵全体构成线性空间的一个子空间，因而也是一个线性空间。………………（2分）

3、令则是对称矩阵。易证线性无关，且对任意n级对称矩阵，其中，有，故是数域P上全体对称矩阵所成空间的一组基。………………………（3分）于是该线性空间的维数为。………………（2分）三、证明：(1)当时。这时。于是对任意的正交矩阵T，都有。…………..（1分）（2）当时。设是的任一特征值，是属于的特征向量，那么，由于，所以，即，由知，从而或，故存在正交阵，使。………………….（7分）（3）当时。设是的任一特征值，是属于的特征向量。由（2）可知，或。但A可逆，故。因此存在正交阵，使。……………….（2分）四、1.解：设，则，，即……………………….（2分）解得一组基础解系：

4、，，于是……（3分）2.解：设，，。于是…………………………（2分）解得故，其中，。………..（3分）五、解：设则A其中。…………（2分）于是，，因而，AA＝＝。……（3分）又计算得…………..（2分）所以，即线性变换A在基下得矩阵是。……….（3分）六、解：A的特征多项式为…….（3分）令则。..（2分）又因为是A的特征多项式，所以。………（2分）于是。……..(3分)七、解：二次型的矩阵为。……（1分）又计算得所以A的特征值为5和－1（二重）。……………………..（3分）对于，解线性方程组得基础解系。再单位化得。……………………（2分）对于，解线性方程组得基础

5、解系。正交单位化得。………（3分）令，则T是正交矩阵，且。于是作正交线性替换有。…………………（3分）八、解：对矩阵作初等变换得。………..（4分）于是，1、的初等因子是；………….（2分）2、A的最小多项式为；…………（2分）3、A的若尔当标准形为。…….…..（2分）