2010级《高等代数(2)》试卷a答案

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1、重庆大学试卷教务处07版第3页共3页命题人：组题人：审题人：命题时间：教务处制学院专业、班年级学号姓名公平竞争、诚实守信、严肃考纪、拒绝作弊封线密重庆大学《高等代数(2)》课程试卷参考答案2010~2011学年第二学期开课学院：数学与统计学院课程号：10020550考试日期：2011-6考试时间：120分钟题号一二三四五六七八九十总分得分一、填空题（每空3分,共21分）：1、实二次型正定　>0，。2、上线性变换定义如下：，则在基下的矩阵是。3、中全体对称矩阵做成的数域P上的线性空间的维数是。4、设三级方阵的三个特征值为1、2、－2，矩阵与相似，则的特征值为1、2、－2,伴随矩阵的

2、三个特征值为-4、-2、2。5、设矩阵的初等因子为，则它的不变因子是,,。6、在中定义内积为，则的长度是　。二、（12分）设为级实对称矩阵，则是半正定矩阵的充分必要条件是对于任意的正数，总是正定矩阵。证明：必要性：，有。因为，所以。又因为是半正定矩阵，所以。于是，从而总是正定矩阵。………(4分)充分性：设的特征值为且。则的特征值为。由于总是正定矩阵，故。若，则有，使得，此与矛盾，故，从而。所以是半正定矩阵。…………………………………………(12分)三、（15分）设是数域上维线性空间的线性变换且,证明：（1）的特征值为1或0；（2）（3）证明（1）设是的特征值，是对应的特征向量，即

3、因为故有但故………………………………（5分）（2）　重庆大学试卷教务处07版第3页共3页………………………………………………………（10分）（3）则又从而由（2）知，可以证明所以（或）即可得………（15分）四、（18分）设二次型1．写出这个二次型的矩阵A；2．求A的特征值及其线性无关的特征向量；3．求一个正交线性替换X=TY，将化为标准形；4．判断的正定性．解：1．原二次型对应的矩阵为………（3分）2．A的特征多项式为特征值为……………………（6分）相应的特征向量为………（9分）相应的特征向量为……（12分）3．标准正交基为令X=TY,其中则……………………………（16分）4．二

4、次型的正惯性指数p=2>0，且负惯性指数q=2>0，所以二次型是不定的．………………………………………………（18分）五、（15分）已知复矩阵，1．求A的不变因子、初等因子；2．求A的若尔当标准形．解：1．＝…………（5分）A的不变因子为1，，初等因子为。………………………………………………………………（11分）2．A的若尔当标准形为…………………………（15分）重庆大学试卷教务处07版第3页共3页六、（12分）欧氏空间中的线性变换称为反对称的，如果对任意，（）（，），证明：1.为反对称的充分必要条件是，在一组标准正交基下的矩阵为反对称的；2.如果是反对称线性变换的不变子空间，则

5、也是．1.证明：（1）必要性。设是反对称线性变换，且在标准正交基下的矩阵为A。则有。于是（，）＝，（，）＝。又因为是反对称线性变换，所以＝－，从而A是反对称矩阵。…………………………………………………………………………（4分）充分性。设在标准正交基下的矩阵为反对称矩阵A，其中。则有（，）＝＝－＝－(，）。，设，于是（，）＝（）＝（＝＝－（）＝－（，）。所以是反对称线性变换。…………………………………………（8分）（2）。因为W是的不变子空间，故。于是，由是反对称线性变换，得（，）＝－（，）＝0。所以也是的不变子空间。……………………………………（12分）七、（7分）设为实对称矩阵

6、，为实反对称矩阵，且，可逆。证明为正交矩阵。证明：于是为正交矩阵。……………………………（7分）