高等代数试卷含答案

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1、1・已知a、=(1,2,1,—2),a2=(2,3,1,0)03=(1,2,2,—3),则厶⑹心心)的维数为①，此生成空间的_组基为.2.已知3二(1,1,1),a=(1,1,0),0=(1,0,0)是P的一个基,由基&=(1,0,0)'£2=(0,1,0),=(0,0,1)至U基弘。2，他的过渡矩阵为©,向量0=(q,b,c)关于基a^a2,a3的坐标为.3.设0,^2,他是3维欧氏空间7的一组基，这组基的度量矩阵为‘2-12、-12-1,、2-12丿则向量§=G]+©2的长度

2、却为.(234)0123三.(16分)已

3、知复系数矩阵/=00}29.0001?(1)求矩阵力的行列式因子、不变因子和初等因子；(2)求矩阵/的若当标准形；(3)求矩阵昇的有理标准形。Qc-1-2-3一4]三.解:(1)XE-A=0z-1-2-300久—1-2<000久一1丿因为-2-3-4A-1-2-3=-4A(A+l)02-1-A-1-2-302-1-2=(A-1)300A-l4分故行列式因子D3（A）=1,显然Z)2a)=1,D}(A)=1,DM=(A-1)4……2分j4(A)=(2-1)4初(A-I)4…・2分等因子……2分若当标准不变因子为〃1（久）=〃

4、2（久）=〃3（久）=1(3)〃4(久)=才一4才+6/3—4z+1<000—1004010-6（0014七.CIO分)1、设＜7是〃维欧式空间V的一个线性变换。证明：如果＜7满足下列三个条件屮的任意两个，那么它必然满足第三个：(i)＜7是正交变换；(ii)/是对称变换；(iii)(J2=8是单位变换。2、若/是一般欧式空间V上的线性变换，上述结论是否成立？一、填空题(每小题4分，共12分)1・3a3fl11)2.110(c，b-c,Q-b)11oo丿3.41二.(28分)已知二次型/（Xpx7,x3）=2x,2+2x22

5、+2x32+2xjX2+2x,x3+2ax2x3,通过某个止交线性替换可化为标准形/=才+忙+4加，(1)写出二次型/的矩阵力及/的特征多项式，并确定Q的值;(2)求出作用的正交线性替换；(3)二次型/•是否正定？求出/•的正惯性指数。二.解：⑴/=12aI1a2丿久一2-1-1特征多项式为f(^)=/.E—A——1久一2—a—1—a久—2(z—2+q)[才一(4+°)久+2+2°]4分故久=2—q或者久2—(4+q)久+2+2q=0由己知可得入二入=1,右=4,故当人=2—q=1时，Q=l,代入才一(4+q)久+2+2q

6、=0,得久2=1，23=4,满足题意。当入=2—q=4时，a=—2，代入才一(4+q)久+2+2q=0,A丰1(舍去)故a—4分(2)当入=人=1,(AjE一A)x=0，基础解系为eq=1,么2=03丿当久3=4时，(/E—力)兀=0(2-1—1)fl0一1)-12-1T01-11-1-12；<0°°丿⑴他=1,6分B「％、令B=a、,02=他-隸y恥-g丿03=偽=14分再将其单位化，有._A__li也厂闌故所作的替换为X=TY正交线性1拓丄希丄石1-761^2761兀丄&O--为数指性惯正其的定正是次二该⑶四.(

7、16分)设？是数域P上的n维线性空间，为/的两个子空间，并且v=W㊉炉‘，任取aeVf设a=a^a2.a{eW,a2eW定义变换O:<7(6Z)=0(1)证明：O■是上的线性变换且(T2=(7;(2)证明：crV=Wyct'1(0)=W'；(E0)(3)证明：<7在某组基下的矩阵为r,其屮&为I•级单位矩阵，I。0丿请指出1•等于什么？四.⑴证明：V.keP.则^二內+色，0=0i+02，其中%仇W”卫2，02丘“，+0)=a〕+0

8、=a(a)+<7(0)a(ka)=kax=ko(a)・・y是v上的线性变换，3分a<7(

9、«)=rr(rr(6t))="(q)=a{=(y(a)。・••3分(2)证明：先证av=w.v«Gr,有皿wcxVa}+gw,a2eW贝ijaa=(j(a}+a2)=a}eWorcW*a、gw,tV-W㊉旷，故存在唯一的闵w旷,使s+他=aw7,/.rr(«)=a}^aV故wucr?故6?)=炉・3分再证a'1(0)=WfX/a2gWf,有<7(«2)=6F(0+a2)=0,所以a2ecr_,(0),故W

10、}+a2=a2eW',故/(O)uW',于是□(0)=旷3分(3)设dim"”则dim孙二“-人，取“的一组基“您,,再取旷的一组基为%小…，％,由于v=w®wf,从而4，么2，・・・,舛，舛+1，…，為为7的一组基，根据/的定义，有他,0=1,2,…，厂)[0,0=厂+1,…，77)(E0、<7(內,