一类neumann-steklov共振问题解的存在性

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1、西南大学硕士学位论文第l章引言和文献综述经查阅资料，我们了解到问题(1，0。1)在Stel【10v谱的范围内进行讨论所得的结果并不多?只有少量的文章如[20，23，24]．特别的，[20】将非线性项，(z，亡)和g(z，t)分别与Neumann谱和Stel【10v谱相联系，巧妙的把Stel【10v谱和Neumann谱结合起来，引入了特征值线的概念，即Steklov-Neumann特征值线(具体解释见[20】)，并且得出了问题(1．o．1)在第一个steklov-Neumann特征值下以及连续的两个特征值之间解的存在性的结果．这样不仅增加了研究解存在性

2、的难度，而且从考虑问题的思维角度来看：相比于文献[23】中的非线性项9(z，t)只关于steklov问题的特征值非共振和(6】中的非线性项，(z，￡)只关于Neumann问题的特征值共振要新颖和有趣许多．下面的定理1．1．1和定理1．1．2是[20]的具体结果．定理1．1．1．假设非线性项I厂(z，≠)，9(z，t)满足下列条件(^)c∈己3(Q)，其中当Ⅳ≥2时，s≥譬．对几乎处处所有的z∈Q都有c(z)≥o成立且c(z)在正测度集上严格大于零，于是厶c(z)如>o．(如)存在常数ol，02>o，o≤p<鹩使得l'厂(z，￡)I≤01+02川p-1

3、对一切z∈Q，t∈酞成立．(^)存在常数6l，62>o，o≤g<哿等使得19(z，￡)

4、≤6l+62⋯9—1对一切z∈8Q，t∈R成立．(疋)存在入，p∈R使得limsup鼍尘≤入<入l，(1．0．3)⋯叶。。L。limsup呈掣≤弘<地(1．0．4)⋯斗o。o对所有的z∈丽一致成立且A1p+p1A

5、1研究的是问题(1．o．1)在平面区域兄1=1[(A，弘)∈Ⅱ廷2：A<入l，芦<芦l，A1p+弘lA<入1弘1)，内解的存在性．显然，条件(矗)没有包含下面的情形li艘p掣妯，(1．0．6)⋯_÷ooL。2西南大学硕士学位论文第1章引言和文献综述li艘p掣鲰．(1．0．7)从特征值线的角度讲，定理1．1．1没有研究问题(1．o．1)在特征值线L口={(入，舻)∈Ⅱ跫2：入≤o，舻=p1)和￡b={(入，p)∈群：入=入l，弘≤o)上是否存在解．定理1．1．2．假设条件(^)一(^)满足．存在常数o，6，Q，卢∈兄，使得非线性项厂(z，t)和9(z，

6、亡)满足n≤l嬲nf掣≤limsup掣≤6，(1．0．8)⋯．÷。。￡⋯’÷。c?t、入南

7、南，o)，(入蠡+1，o)的特征值线围成的区域．另一方面，从(1．o．9)式我们可以看出

8、厂(z，￡)不满足．1im掣：久七(七≥2)．(1．0．11)⋯_o。亡、7综上分析可知，区域哦不包含边界L南={(入，p)∈噼：A=入南(南≥2)，(1一击)肛i<肛≤o>和碳=№p)∈R2：A=A七(露≥2)，o≤p<(1一缶)芦1)．从共振与非共振的角度来讲，文献[20]研究的是Neumann—steklov非共振问题，本文受文献【26—281共振问题的启发，我们提出这样一个问题：对于Neumann—Steklov问题，能否从“共振”的角度证明问题f1．0

9、．1)分别在特征值线L。={(A，p)∈Ⅱ廷2：A≤o，肛=p1)，L6={(A，p)∈Ⅱ廷2：A=A1，肛≤o)，3西南大学硕士学位论文第l章引言和文献综述￡惫={(入，p)∈R2：入=入惫(庇≥2)，(1一÷竺．一)p1

10、本文考虑的是一类Neumann．Steklov共振问题解的存在性，我们有必要介绍与Neumann—Stekl