分数阶微分方程m点边值共振问题解的存在性

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1、2015年2月纯粹数学与应用数学Feb．2015第31卷第1期PureandAppliedMathematicsVbl．31No．1分数阶微分方程仇点边值共振问题解的存在性桂旺生，刘利斌(池州学院数学与计算机科学系，安徽池州247000)摘要：利用Mawhin延拓定理考察了一类分数阶微分方程m点边值共振问题解的存在性．得到了解的存在性的一个充分性条件，并且举出实例用以说明主要结果．关键词：分数阶微分方程；Mawhin延拓定理；共振中图分类号：0175．8文献标识码：A文章编号：1008—5513(2015)01—0001-11DOI：i0．3969／j．issn．1008-5513．20

2、15．01．0011引言{。D抖z@’=，‘厶z‘。m’：-三2’‘。’’+e@L亡∈【o，1L<(1)I工JIXt(o)=0，z(1)=∑aix(荨i)，～i=1其中，。D器z(t)(1≤Q<2)为Riemann-Caputo分数阶导数，，(t，乱，口)∈c(【o，1】×R×R，R)，e(t)∈L1[o，1】，0<∈1<＆<<岛n一2<1，ai∈【0，1](i=1，2，，m一2)，∑ai=1．分数阶微分方程是微分方程理论的一个新的重要分支，它在扩散和输送理论、混沌与湍流、高分子材料解链、粘弹性力学及非牛顿力学等领域都有广泛的应用．对于分数阶微分方程二点与多点边值问题，许多学者对其作了一

3、系列的研究，得到了解和正解存在性的一些结果[1-6]．例如，文献【1]中利用重合度理论研究了如下分数阶微分方程二点边值问题解的存在性：J。Dnz(t)=邢，z(t)，z他))，t∈【071】，f21Iz(o)=z(1)，z7(o)=z7(1)，其中，。D缸z(t)(1

4、锥，利用非紧性测度理论和锥拉伸与锥压缩不动点定理证明了如下仇点边值问题的正解的存在性，得到了有关正解存在性的三个定理．p邮)+以D八屯以。弩以挺(0，1)，n=手呸仇(3)、。Iu(o)=∥(o)==u‘n一2’(o)=o，钍(1)2iE：1mu(已)，其中，D矗z(t)为Riemann-Lionville分数阶导数，n为整数，Q≥2，吼≥0(i=l，2，，m一2)，m-2∑吼等一1<1，0<∈1<已<<‰一2<1，九(t)∈c([o，1]，[o，+∞))，{一1J=【0，1]，，∈C(J×只P)．本文受以上文献的启发，主要应用重合度理论研究分数阶微分方程m点边值问题(1)的解的存在性．

5、首先给出了与分数阶微分方程有关的几个定义与引理，其次得到了本文的主要结果，即解的存在性定理，最后举出实例作为应用．2几个引理首先给出下面几个相关定义和引理：定义2．1【7。8](Riemann-Liouville)设函数让(t)可积，Q阶积分定义为：珥u(t)=丽1／o。(t—s)州u(s)ds．定义2．2【7-8](Riemann-Caputo)设函数钆(t)可积，n阶导数定义为：吼心，=南／o‘拦粘as．引理2．1【8】设礼一1

6、n一1

7、omLnQ≠西，L：domLcX--+Y是零指标的nedholIn算子，Ⅳ：Q-÷Y为连续算子，如果QN：孬--4Y和KpQ：孬_÷X都是紧算子，则称N在孬上是L一紧的．引理2．3【9](Mawhin延拓定理)设L：domLcX-4Y是零指标的Fredholm算子，N：X--+Y在豆上是三．紧的．若满足：(1)Lx≠ANx，v(x，入)∈【(domL＼KerL)naQ]×(0，1)；(2)Nx垡ImL，比∈KerLnOft；(3)d