分数阶微分方程三点边值问题解的存在唯一性.pdf

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1、倡2013年5月安庆师范学院学报（自然科学版）May．2013第19卷第2期JournalofAnqingTeachersCollege（NaturalScienceEdition）Vol．19No．2网络出版时间：２０１３－５－３０１６：４８　网络出版地址：ｈｔｔｐ：／／ｗｗｗ．ｃｎｋｉ．ｎｅｔ／ｋｃｍｓ／ｄｅｔａｉｌ／３４．１１５０．Ｎ．２０１３０５３０．１６４８．００２．ｈｔｍｌ分数阶微分方程三点边值问题解的存在唯一性吴婷，孙琳（安徽大学数学科学学院，安徽合肥２３００３９）摘要：利用Ｓｃｈａｅｆｅｒ不动点定理、压缩映像原理和Ｈ迸ｄｅｒ不等式，

2、讨论了一类非线性分数阶微分方程的三点边值问题，得出了此类边值问题的解的存在性和唯一性的两个充分条件。关键词：边值问题；不动点定理；存在性；唯一性中图分类号：Ｏ１７５．８文献标识码：Ａ文章编号：１００７－４２６０（２０１３）０２－０００４－０５微分方程边值问题的研究历史悠久，从之前的常微分方程发展到如今的广泛被研究的分数阶微分方程。随着分数阶微分方程理论的不断发展，有关分数阶微分方程边值问题解的性质的研究有着比较［３－８］［３－６］丰富的结果，如分数阶微分方程边值问题的正解和多点边值问题的解。近年来，分数阶微分方［２］程在物理学、化学、天文学、生物学

3、以及控制理论等领域得到了广泛的研究和应用，但从实际问题抽象出来的方程有可能是较为复杂的含积分的分数阶微分方程，从而对分数阶积分微分方程的研究尤为必要。文献［７］和［８］已经研究了一类含积分的分数阶微分方程的解的相关性质，在此基础上，本文主要考虑如下非线性分数阶积分微分方程三点边值问题CαDu（t）＝f（t，u（t），（Su）（t）），t∈J＝［０，T］０＋（１）u（０）＝au（η），u（T）＝bu（η）解的存在性和唯一性，其中１＜α≤２，０＜a＜１，０＜b＜１，η∈（０，T），f∶J×R×R→R，且S是第一型Ｆｒｅｄｈｏｌｍ积分算子，定义为t（Su

4、）（t）＝∫k（t，s）u（s）ｄs０t＋其中k∈（J×J，R），另记γ＝ｍａｘ｛∫k（t，s）ｄs∶（t，s）∈J×J｝。０本文首先给出有关分数阶微分方程的基本概念和准备知识，其次将边值问题（１）转化为等价的积分方程，最后，运用不动点定理得到解的存在性和唯一性的两个充分条件。１　预备知识［２］定义函数y∶（０，＋∞）→R的α阶Ｒｉｅｍａｎｎ－Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ分数阶积分为tα１α－１I０＋y（t）＝∫（t－s）y（s）ｄsΓ（α）０其中，α＞０，Γ（·）为Ｇａｍｍａ函数。［２］引理１若u∈C（０，０）∩L（０，１）有n阶导数属于C（０，０）∩L（

5、０，１），则αCα２n－１I０＋D０＋u（t）＝u（t）＋c１＋c２t＋c３t＋⋯＋cntci∈R，i＝１，２，⋯，n，其中n＝［α］＋１。倡收稿日期：２０１２－１０－３０基金项目：教育部博士点基金（２０１１３４０１１１０００１）和安徽省自然科学基金（１３０８０８５ＭＡ０１）资助。作者简介：吴婷，女，安徽省安庆人，安徽大学数学科学学院硕士研究生，研究方向：微分方程。第２期吴婷，孙琳：分数阶微分方程三点边值问题解的存在唯一性··５引理２　假设函数h∈C（J，R），则函数u是分数阶积分方程tη１α－１c［（b－a）t＋aT］α－１u（t）＝∫（t－s）

6、h（s）ｄs＋∫（η－s）h（s）ｄs－Γ（α）０Γ（α）０Tc［（１－a）t＋aη］α－１∫（T－s）h（s）ｄsΓ（α）０的解，当且仅当是下述分数阶边值问题CαDu（t）＝h（t），１＜α≤２，t∈J０＋（２）u（０）＝au（η），u（T）＝bu（η）－１的解，其中c＝［η（a－b）＋T（１－a）］＞０。证明由引理１，先将（２）式转化成等价的积分方程αu（t）＝Ih（t）＋c１＋c２t，c１，c２∈R０＋由边值条件u（０）＝au（η），u（T）＝bu（η）得ηTacTα－１acηα－１c１＝∫（η－s）h（s）ｄs－∫（T－s）h（s）ｄsΓ（

7、α）０Γ（α）０ηTc（b－a）α－１c（１－a）α－１c２＝∫（η－s）h（s）ｄs－∫（T－s）h（s）ｄsΓ（α）０Γ（α）０－１其中c＝［η（a－b）＋T（１－a）］＞０。因此，tη１α－１c［（b－a）t＋aT］α－１u（t）＝∫（t－s）h（s）ｄs＋∫（η－s）h（s）ｄs－Γ（α）０Γ（α）０Tc［（１－a）t＋aη］α－１∫（T－s）h（s）ｄsΓ（α）０对于可测函数m∶J→R，定义其范数为１pp（∫｜m（t）｜ｄt），０≤p＜∞‖m‖＝JLp（J，R）ｉｎｆ｛ｓｕｐ｜m（t）｜｝，p＝∞μ（J）＝０t∈J－Jp其中μ（J）是J上

8、的Ｌｅｂｅｓｇｕｅ测度，L（J，R）表示所有Ｌｅｂｅｓｇｕｅ可测函数m∶J→R构成的Ｂａｎａｃｈ空间且‖m‖＜∞。Lp（J