可积离散nls-%27%2b-方程贝克朗变换及其解结构

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1、⑧硕士学位论文MASTER’STHESIS摘要本文针对可积离散化的NL矿方程·{“=(qn+l+qn一1—2qn)／h2一‰磊(‰+1+‰一1)+2wq。(1．3)j给出了它的贝克朗变换，并在一定程度上讨论了它的结构．贝克朗变换给出了一种构造方程(1．3)解的方法，同时也给出了构造其拉克斯对方程(3．1)解的方法，这就给我们对方程(1．3)的解进行重复构造创造了条件．为了证明该变换(定理3．2)，我们用到了一种特殊的方法，即拉克斯对方法．为此我们先找出了方程的拉克斯对(引理3．1)．通过拉克斯表示与方程的等价性，我们证明了定理3．2

2、．并对该变换给出了一个标准化的形式(定理3．3，推论3．4)．～(第四节对方程(1．3)的解的性态的讨论，在一定程度上也可说是对定理3．2的一个应用：给定方程的一个解‰，然后通过贝克朗变换构造了一系列不同于口。的解Q。，之后证明了Q。收敛于‰．本节中一个关键的问题就是要找出定理3．2中给定的≯。(引理4．2，定理4．3)，即拉克斯对方程的一个解．引理3．1：系统(1．3)的拉克斯对取如下形式妒n+1=工n妒n，如=B。妒。，其中rf，zihq,,、＼“2＼一ihq,。1／z／(3．1a)(3．16)B。=萨i([1-z2+：i2^i

3、矗Xh一。+一h2i^qn磊q．，_。l一“J舻，，z。一。-+zi。h；％A^+一ih^q。n磊_‰1_／一z。+。^。)这里Z=en“，并且系统(1．3)的拉克斯表示为三。=上k+lL。一L。上}n，(3．2)⑥硕士学位论文MASTER’ST}lESIS即有(3．2)等价于(1．3)．定理3．2：设咖。为(3．1)在(‰，珥)处的一个解，定义耻(。+％a‘n；㈡，其中。n2基(M2一卅⋯2)，k=尝‰k，dn=a。，Ca=k，△。=÷(‰。12一川2‰12)．再定义皿。=F。妒n，Qn=一去6n+l+n。+lqn．那么，若妒。为

4、式(3．1)在(‰，z+)处的一个解，则皿。就是式(3．1)在(Q。，铒)处的一个解，从而，q。，Q。均为(1．3)式的解．引理4．2：设三。在点z处的特征值及相应的特征向量为(p，咖)，其中(Po=(咖。，(Po。)T，则(Po与(3．1b)式相容，即妒。可成为(3．1b)式的解．定理4．3：设(p1，cpo)，(p2，妒o)为厶的两特征值及相应的特征向量函数，且伽，讥均为(3．1b)式的解，令妒。=胛伽，帆=壤讥，咖。=％l‰+k2‰，则西。为方程(3．1)的解『Y关键词：NLS+方程，离散，拉克斯对，贝克朗变换．Abstrac

5、tInthispaper，wegivetheBacklundtransformationsanddiscussitsstructurestosomeextentfortheintegrablediscretizationoftheNLS+equation：iq。=(口n+l+qn一1—2％)／h2一‰甄(gn+1+‰一1)+2u‰(1．3)Thetransformationgivesawaytoconstructsolutionstothesystem(1．3)，anditalsodoestotheequation(3．1)，whi

6、chcontributetoreconstructsolutionstothesystem(1．3)．Inthispaper，Inordertoattainthetransformation(Theorem3．2)，weuseaspecialmethod，thatis，theoneofLaxpair．SowefirstfindouttheLaxpairofthesystem(1．3)(Lemma3．1)．Throughthesystem(1．3)’SequivalencetotheLaxrepresentation，wefinish

7、theproofofTheorem3．2．Moreover，wegivethestandardizationofthetransformation(Theorem3．3，Corollary3．4)．Asfarasthediscussionaboutthestructuresisconcerned，tosomeextent，itmaybesaidtobeanapplicationtotheBacklundtransformation：Fixasolution‰tothesystem(1．3)，constructagroupofsolu

8、tionsQndifferentfromgnthroughtheBScklundtransformation，andthenprovethatQnisconvergenttoqn．Inthesection4，itisvitalforU