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1、第五章有限离散傅里叶变换一、有限离散傅里叶变换的循环褶积——循环褶积定理1二、循环褶积与普通褶积的关系——循环褶积定理2三、利用快速傅里叶变换（FFT）计算褶积§3有限离散傅里叶变换的循环褶积一、有限离散傅里叶变换的循环褶积——循环褶积定理1在第四章，我们知道，两个离散信号的连续频谱相乘，对应于两个离散信号的褶积运算。这就是滤波理论的基本关系式。为了能用快速傅里叶变换算法在频谱域上实现滤波，我们必须分析两个有限离散频谱相乘所对应的信号究竟是什么？这就是本节要讨论的问题。设有两个有限离散信号则有这里但注意到上式右边
2、表达式算出来的是以为周期函数，因此从理论上讲上述可以取任何整数。也就是说，我们可以将扩充称以为周期的函数，这种扩充便于下面的讨论。令则是一个新的有限离散频谱，它对应的有限离散信号为问题1与有何关系？即称之为有限离散信号和的循环褶积或周期褶积，记作即这里也以为周期，且循环褶积定理1设和是长度为的有限离散信号，将扩充成以为周期的函数，则有限离散频谱所对应的有限离散信号注（1）若令则有据此可知，循环褶积与普通褶积的几何含义类似，只是要注意这里的已扩充成以为周期的函数.（2）循环褶积也可以用两个同心圆来表示：将两个同心圆
3、的圆周等分，用分点代表离散信号，并将顺时针排列，逆时针排列。若计算则将与相对应，然后各对应项相乘，再相加即可得参见下图。例1设和分别是长度为和的信号：将扩充成长度为的信号：求和的循环褶积解我们可以用同心圆，或类似于普通褶积的图形来计算，也可以直接用循环褶积定义计算。总之，二、循环褶积与普通褶积的关系——循环褶积定理2设有两个有限离散信号则与的普通褶积为因为当时当时所以当或时故另一方面，在（2）式中，当即时，而故当时所有从而又当即时，而故当时所有从而总之，即是长度为的有限离散信号。设与是以为周期的信号，并且与的关系
4、为：当时，记与的循环褶积为问题21）在范围内，与有何关系？2）在什么条件下，有下面分别讨论这两个问题：1）当时，因为当时，所以从而又因为当时，所以从而总之，2）当中的每一项时，因为当时，从而所以当时，才可能非零。故又因为而当即时，而故当时，从而每一项此时总结以上讨论结果，可得循环褶积定理2设有两个有限离散信号与是以为周期的信号，并且当时，则当满足时，褶积与循环褶积相等，即注（1）若即时，于是有这时，循环褶积可以完全反映褶积故滤波（2）若即时，不成立，（3）当时，与部分相等。例2设与的普通褶积以为周期的信号的循环褶
5、积循环褶积定理2中的条件这里故这与计算结果相同。当时，作业：P1318三、利用快速傅里叶变换（FFT）计算褶积利用快速傅里叶变换计算褶积的理论根据是循环褶积定理2，根据这个定理，选取适当的就可把褶积运算转化为循环褶积运算。再根据循环褶积定理1，循环褶积运算又可转换为有限离散频谱相乘，而有限离散频谱可利用快速傅里叶变换算法来计算。下面具体说明之。1.在一般情况下利用FFT计算褶积的方法设在一般情况下，利用FFT计算褶积的步骤如下：1）选择使之满足2）构造以为周期的信号使之满足当时，3）利用FFT分别计算的有限离散频
6、谱4）将与相乘，得5）利用IFFT对作反变换，得则就是我们所要计算的褶积2.在特殊情况下利用FFT计算褶积的方法在特殊情况下，即时，点，我们可以分若干段来计算褶积。根据循环褶积的特具体步骤参见P123.实验一：滤波的MATALAB实现一、实验目的（1）掌握滤波在时域的表现形式和频域的表现形式。（2）掌握褶积（也叫卷积）的MATALB实现。（3）掌握快速傅里叶变换（FFT）的MATALB实现。（4）掌握利用FFT计算褶积的方法。二、实验原理与步骤1.滤波的两种表现形式设输入信号为滤波器为输出信号为其中的频谱为连续频
7、谱。则滤波（1）在时域上表现为褶积（普通褶积）：（2）在频域上表现为两个对应频谱相乘：2.褶积（普通褶积）的MATALB实现在MATALB中，褶积运算可通过：来实现。例1（P13317题）设则求输出信号的MATALB程序为:x=[1,2,3,2];h=[1,1,1];y=conv(x,h);运行结果为：y=1367523.快速傅里叶变换（FFT）的MATALB实现有限离散信号与有限离散频谱之间的关系可通过有限离散傅里叶变换表示为：而有限离散频谱及其对应的信号可利用FFT和IFFT来计算。在MATALB中，FFT和
8、IFFT可通过如下命令实现：X=fft(x,N)%正变换x=ifft(X,N)%反变换其中要求例2对用FFT分别对其作正变换与反变换的程序如下：x=[1,2,3,2];h=[1,1,1];N=4;X=fft(x,N)x=ifft(X,N)H=fft(h,N)h=ifft(H,N)运行结果为：X=8-20-2x=1232H=3.00000-1.0000i1.00000+1.
