《离散傅里叶变换》PPT课件

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1、离散傅里叶变换DiscreteFourierTransform1内容提要离散傅里叶变换(DiscreteFourierTransform，DFT)是时间函数是离散的，而且频谱函数也是离散的变换。离散傅里叶变换定义DFT物理意义DFT基本性质讨论频率取样理论。DFT的应用2傅里叶变换的各种形式连续时间、离散频率的傅里叶变换对于周期为T的连续时间信号，可以采用傅里叶级数展开：连续时间、连续频率的傅里叶变换对于非周期的连续时间信号，可以进行傅里叶变换：它在时域和频域都是连续的。3离散时间、连续频率的傅里叶变换对于非周期的序

2、列，其傅里叶变换在频域是以2π为周期的连续函数。43.1离散傅里叶变换(DFT)设x(n)是一个长度为M的有限长序列，则定义x(n)的N点离散傅里叶变换为X(k)的离散傅里叶逆变换为式中，，N称为DFT变换区间长度,N≥M，通常称(3.1.1)式和(3.1.2)式为离散傅里叶变换对。Note:有限长序列x(n)的DFT即X(k)仍是有限长序列。5例3.1.1x(n)=R4(n)，求x(n)的8点和16点DFT.解：设变换区间N=8，则6对长度为M的序列x(n)，其Z变换N点DFT进行对比，可以看出式中，表示z平面单位

3、圆上辐角(k=0,1,…N-1)的N个等间隔点。3.1.2DFT与FT、Z变换的关系7说明：序列x(n)的N点DFT是其Z变换在单位圆上的N点等角距取样，如图3.4(a)。序列x(n)的DFT是其FT在区间[0,2π]上的N点等间隔取样。如图3.4(b)。83.2.3DFT的隐含周期性DFT变换对中均为整数所以式(3.1.1)中，X(k)满足同理可证明式(3.1.2)中x(n+mN)=x(n)9任何周期为N的周期序列都可以看做长度为N的有限长序列x(n)的周期延拓序列，而x(n)是的一个周期(3.1.5)(3.1.6

4、)10定义：为叙述方便，将式(3.1.5)该写成表示x(n)以N为周期的周期延拓序列，符号((n))N表示n对模N的余数，即这里k是商。的主值区间：周期序列中从n=0到N-1的范围的主值序列：主值区间上的序列11由此对长度为N的序列x(n)，且，则的DFS为结论：与DFT定义比较，可见有限长序列x(n)的DFT即X(k)是x(n)的周期延拓序列的离散傅里叶级数系数的主值序列。例如，N=7,=x((n))7，则有12解：因此得X(0)=4.16114X(1)=0.71063-j0.92558X(2)=0.50746-j

5、0.40597X(3)=0.47017-j0.16987X(4)=0.46235X(5)=0.47017+j0.16987X(6)=0.50746+j0.40597X(7)=0.71063+j0.92558Matlab实现fft1.m例3.1求有限长序列的DFT，其中a=0.8，N=8。13关于离散傅里叶变换(DFT)：序列x(n)在时域是有限长的(长度为N)，它的离散傅里叶变换X(k)也是离散、有限长的(长度也为N)。n为时域变量，k为频域变量。DFT的物理意义：序列x(n)的Z变换在单位圆上的等角距取样。

6、序列傅里叶变换在区间[0,2π]上的等间隔取样。离散傅里叶变换(DFT)具有唯一性。离散傅里叶变换与离散傅里叶级数没有本质区别，DFT实际上是离散傅里叶级数的主值，DFT也隐含有周期性。14DFT隐含着周期性，因此在讨论DFT的性质时，常与DFS的概念联系起来，并把有限长序列看作周期序列的一个周期来处理。设x1(n)和x2(n)的长度都为N，且它们对应的DFT分别为X1(k)和X2(k)。1．线性设x3(n)=ax1(n)+bx2(n)，a和b都为常数，则若它们长度不等，取长度最大者，将短的序列通过补零加长，注意此时

7、DFT与未补零的DFT不相等。3.2离散傅里叶变换的性质152．循环移位性质一个长度为N的序列x(n)的循环移位定义为循环移位分3步计算：(1)将x(n)延拓成周期为N的周期序列；(2)将移位得或x((n+m))N；(3)对x((n+m))N取主值得x((n+m))N·RN(n)。这个过程如下图所示。a)序列的循环移位：16从图中两虚线之间的主值序列的移位情况可以看出，当主值序列左移m个样本时，从右边会同时移进m个样本，而且好像是刚向左边移出的那些样本又从右边循环移了进来。因此取名“循环移位”。显然，循环移位不同于线

8、性移位171819对长度为N的有限长序列x(n)，其循环移位后序列y(n)的DFT为证明：b)时域循环移位定理令n+m=n’，则有：因为以N为周期，上式中的求和区间任取一个周期即可，取主值区间为求和区间，得证。20若则c)频域循环移位定理213.2.3循环卷积定理长度分别为N1和N2的有限长序列x1(n)和x2(n)的N点DFT分别为：（N=m