《离散傅里叶变换》PPT课件

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1、第4章图像变换4.1傅里叶变换4.2离散余弦变换4.3K-L变换4.4小波变换2021/7/19第4章图像变换为了有效和快速地对图像进行处理和分析，常常需要将原定义在图像空间的图像以某种形式转换到其他空间，并且利用图像在这个空间的特有性质进行处理，然后通过逆变换操作转换到图像空间。本章讨论图像变换重点介绍图像处理中常用的正交变换，如傅里叶变换、离散余弦变换和小波变换等。2021/7/191.一维连续傅里叶变换设f(x)为x的函数，如果f(x)满足下面的狄里赫莱条件：(1)具有有限个间断点；(2)具有有限个极值点；(3)绝对可积。则定义f(x)的傅里叶变换为：202

2、1/7/194.1连续傅里叶变换从F(u)恢复f(x)称为傅里叶反变换，定义为：2021/7/19上述二式形成傅里叶变换对，记做：函数f(x)的傅里叶变换一般是一个复数，它可以由下式表示：F(u)=R(u)+jI(u)R(u),I(u)分别为F(u)的实部和虚部。写成指数形式：4.1连续傅里叶变换F(u)为复平面上的向量，它有幅度和相角：2021/7/19幅度：相角：幅度函数

3、F(u)

4、称为f(x)的傅里叶谱或频率谱，φ(u)称为相位谱。称为f(x)的能量谱或称为功率谱。4.1连续傅里叶变换2.二维连续傅里叶变换傅里叶变换可以推广到两个变量连续可积的函数f(x,y

5、)若f(x,y)满足狄里赫莱条件，则存在如下傅里叶变化对：2021/7/19二维函数的傅里叶谱、相位和能量谱分别表示为：2021/7/191.一维离散傅里叶变换对一个连续函数f(x)等间隔采样可得到一个离散序列。设共采了N个点，则这个离散序列可表示为{f(0),f(1),…,f(N-1)}。借助这种表达，并令x为离散空域变量，u为离散频率变量，可将离散傅里叶变换定义为：4.1.2离散傅里叶变换傅里叶反变换定义由表示：2021/7/19可以证明离散傅里叶变换对总是存在的。其傅里叶谱、相位和能量谱如下：4.1.2离散傅里叶变换2.离散傅里叶变换（DFT）的矩阵表示法由

6、DFT的定义，N＝4的原信号序列f(x)={f(0),f(1),f(2),f(3)}的傅里叶变换F(u)展开为：2021/7/194.1.2离散傅里叶变换将e指数项化简可写成矩阵形式：2021/7/19记作：可用复平面的单位圆来求W的各元素。如图4-1所示。当N=4时，参看图4.1(a)。把单位圆分为N=4份，则正变换矩阵第u行每次移动u份得到该行系数。4.1.2离散傅里叶变换2021/7/19(a)(b)图4.1复平面单位圆(a)N＝4(b)N＝84.1.2离散傅里叶变换2021/7/19同理N=8见图4-1(b)的单位圆。N=8的W阵应把单位圆分为8份，顺时顺

7、次转0份,1份、…,7份，可得W阵为:4.1.2离散傅里叶变换2021/7/194.1.2离散傅里叶变换2.二维离散傅里叶变换一幅静止的数字图像可看做是二维数据阵列。因此，数字图像处理主要是二维数据处理。如果一幅二维离散图像f(x,y)的大小为M*N，则二维傅里叶变换可用下面二式表示。2021/7/194.1.2离散傅里叶变换在图像处理中，一般总是选择方形阵列，所以通常情况下总是M=N。正逆变换对具有下列对称的形式：2021/7/194.1.2离散傅里叶变换3.二维离散傅里叶变换的性质二维离散傅里叶变换有一些重要的性质，这些性质为使用提供了极大的方便。1）分离性二

8、维离散傅里叶变换具有分离性2021/7/194.1.2离散傅里叶变换2021/7/19分离性质的主要优点是可借助一系列一维傅里叶变换分两步求得F(u,v)。第1步，沿着f(x,y)的每一行取变换，将其结果乘以1/N,取得二维函数F(x,v);第2步，沿着F(x,v)的每一列取变换，再将结果乘以1/N,就得到了F(u,v)。这种方法是先行后列。如果采用先列后行的顺序，其结果相同。如图4.6所示。4.1.2离散傅里叶变换2021/7/19行变换列变换图4.6把二维傅里叶变换作为一系列一维的计算方法4.1.2离散傅里叶变换对逆变换f(x,y)也可以类似地分两步进行。20

9、21/7/194.1.2离散傅里叶变换2）平移性傅里叶变换和逆变换对的位移性质是指：2021/7/19由f(x,y)乘以指数项并取其乘积的傅立叶变换，使频率平面的原点位移至(u0,v0)。同样地，以指数项乘以F(u,v)并取其反变换，将空间域平面的原点位移至(x0,y0)。当u0=v0=N/2时，指数项为：4.1.2离散傅里叶变换即为：2021/7/19这样，用（-l）(x+y)乘以f(x,y)就可以将f(x,y)的傅里叶变换原点移动到N*N频率方阵的中心，这样才能看到整个谱图。另外，对f(x,y)的平移不影响其傅里叶变换的幅值。此外，与连续二维傅里叶变换一样，二

10、维离散傅里