高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式33排序不等式课堂导学案新人教a版选修4-5

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1、3.3排序不等式课堂导学三点剖析一、利用排序不等式证明不等式ahC3【例1】已知a,b,ceR；求证+n二b+ca+ca+b2证明：不妨设a$bMc>0,①则（Kb+cWc+aWa+b,从而有丄n丄n丄•②b+cc+aa+b对①②应用排序原理，得cbci、acb_a+bc+ab+ca+bc+ab+ccba、bac广、++>++，④o+bc+ab+ca+bc+ab+c得+亠）二3.b+c③+④，c/Cba、、#ab、，ca、，ba+bc+ab+ca+ba+bc+ac+ab+・・・一J+—+亠>-（当且仅当a二b二c时等号成立）.b+ca+ca+b2各个击破类题演练1设s,b,c都是

2、正数，证明丄+工+丄/+"+「b+cc+qq+Z?2证明：不妨设a$b$c>0,①则a+b>a+c^b+c>0,—丄>0,亠亠亠〉0,②b+ca+ca+bb+ca+ca+b对①②应用排序原理，得a2h21Fb+ca+c、ahheca广、说+忌+市③c2』+亠―+jb+ca+ca+bb+cc+aa+b③+④，得2（—+工+丄）Ma+b+c,b+ca+ca+b••丄+£+」£±^£b+cc+aa+b2（当且仅当沪b=c时，等号成立）.二、利用排序不等式证明条件不等式【例2］设a,b,c,d是满足ab+bc+cd+da=l的非负实数,求证:b+c+da+c+da+b+da+b+c3证明

3、：不妨设eiNbNcNdNO,①则a+b+c$a+b+d$a+c+dNb+c+d>O,/>方2>a?〉〃2b+c+da+c+da+b+ca3b3d3令S-111b+c+da+c+da+b+da+b+c对于①②应用排序原理，得a2bb+c+db2ca+c+dc2dd+b+dd2ad+b+cS2b2dc2aHd+c+da+b+dd~ba+b+cS2a1db+c+c!b2aQ+c+dc2ba+b+dd2ca+b+c③+④+⑤,可得3S&a*+l/+c2+d2c广+/rb+Lc「+d_cr+cr^ab+bc+cd+da=l.+++2222・・・S冷（当且仅当+呜时,等号成立）.类题演练2

4、设ai,a2,…，an是1,2,•••,n的一个排列，求证：丄+?+・・・+__-<—+—+•••+—23na2a3an证明：设bi,b2,…，bn-i是aba2,…，an-i的一个排列，且bi…且bi21,b2^2,…,bn-&nT；cW2,c2^3,…,Cn-iWn.C

5、C2c心利用排序不等式有鱼+玉+・亠+…+口23n变式提升1设实数xiMxzM…Mxn,y&yzN…Myn,zbz2,…，zn是yi,yz,…，yn的一个置换，证明/=1f=l证明：

6、显然所需证明之不等式等价于£兀必旺Z,,这由排序不等式可直接得到./=1/=1三、利用排序不等式解决其他问题【例3]有十个人各拿一只水桶去打水，设水龙头灌满第i个人的水桶需要b分钟,且这些ti(i=l,2,-,10)各不相等,试问:(1)只有一只水龙头供水时，应如何安排这十个人打水的次序，使他们的总的花费时间最少？这个最少时间是多少？(2)若有两个相同的水龙头供水时,应如何安排这十个人的次序，使他们的总的花费时间最少?这个最少时间是多少？解析：(1)设按某次序打水时水龙头灌满笫i个人的水桶需要Si分钟，则第一人花费的时间为S1分钟，第二人花费的时间为(S1+s2)分钟，…，第十人

7、花费的时间为(Si+S2+・・・+SK))分钟，总的花费时间为Si+(Si+S2)+・・・+(Si+S2+・・・+Sio)二IOS1+9S2+…+2sg+sw.英中，序列Si,S2,•••,S10是ti,t2,…，tio的一个排歹I」.由题设，这些ti各不相同，不妨设ti

8、设总时间最少时有m个人在第一个水龙头打水，设依次所用时间为Pi,P2,…,Pm；有10-m个人在第二个水龙头打水，依次所需时间设为qi,q2,…,qio-..显然必有一个水龙头的打水人数不少于5人，不妨设为第一个水龙头,也不可能有一个水龙头没人去打水，则5W*10.由(1)知Pl