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1、函数值域的若干求法一.函数值域的几点解读在函数y=f(x)中，与自变量兀的值对应的y的值叫做函数值，函数值的集合即为函数的值域。实质上1•当函数〉，=/(兀)用表格给出吋，其值域指表格中实数y的集合。2.当函数y二于仏)的图象给出时，其值域即为图象在y轴上的投影所覆盖的实数y的集合。3•当函数=/(%)用解析式给出吋，其值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定。4.当函数由实际问题给出时，其值域由问题的实际意义确定。二•求函数值域的几种方法(-)观察法：对于一些简单的函数，可以通过定义域及对应法则，用观察的方法来确定函数的值域。例1：
2、求下列函数的值域(1).y=2x+l*{1,2,3,4,5}(2).y=4x+1解：(1).・・・歹=2兀+1且兀&{1,2,3,4,5}・•・yw{3,5,7,9,11}所以函数的值域是：{3,5,7,9,11}(2).•・•Vx>0・•・-y/x+1>1所以函数歹=頁+1的值域是［l,+oo)(二)配方法：对于二次三项式有关问题，常根据求解问题的要求，采用配方法来解决。对于含有二次三项式的函数，也常用配方法来求其值域。例2：求下列函数的值域(1).y=x2-4x+6(2).y=J5+4兀一兀2解：(1).配方得：^=(x-2)2
3、+2/.y>2所以函数的值域是：［2,+oo)(2).•・•y=a/5+4x-xy二+2x—2y=兀+V2x-1解：令/=F+2x—2=(兀+1尸一3(r工0)贝ijy=-由二次函数最大值是-3知t>-3（/H0）=J-(x-2)?+9显然5+4x-x2的最大值是9函数y=J5+4兀-，的最大值是3JIy>0所以函数的值域是：［0,3］（三）图象法就是利用函数图象的直观性求函数值域的方法例3：求函数y=
4、x+l
5、+
6、x-2
7、的值域x-2
8、化为分段函数:—2x+132x—1(x<-l)(-l2)函数图象如图不：显然:..
9、:■I■I・I■I所以函数y=
10、x+l
11、+
12、x-2
13、的值域是：［3,+oo）<——I——j-j*——土~TX（四）换元法：对于一些无理函数或超越函数，通过换元把它们化为有理函数，然后利用有理函数求值域的一些方法可间接地把原函数的值域求出。当/>0时上>0所以函数y二——的值域是:例4：求下列函数的值域(2)设t=^/2x-l贝【Jt>0且兀=上于是y=^—+t=丄(/+1)所以函数.y=兀+』2x-1的值域是：一,+g（五）反函数法若一个函数是到值域上的一一映射，且反函数易求，则可利用反函数的定义域求原函数的值域例5：求下列函数的值
14、域（1）y=—―-（兀<0且兀工-3）兀+3(2)x2-X2+11+3x解：（1）易求原函数的反函数为：y二些艺2-x由于原函数的定义域为{兀卜vORw-3}1+3兀n<0可得不等式组2-兀一匕-3、2—x所以x<--或x>23_2x-l（1、所以函数『=（xvO且兀H-3）的值域是：—U（2,+8）x+3、3丿（2）易知原函数的定义域为R,由函数解析式解出F有：（y_l）兀2=_（y+l）当汐1时有F二-DVX2>0故当且仅当-出二0时兀有实数解y-y-一牛—gr2_i所以函数y的值域是:[-1,1]*x+1（六）判别式法：
15、即利用一元二次方程根的判别式求。若一个有理函数式可化为关于兀的一元二次方程，则可利用△=/-QzchO来求函数值域。例6：求下列函数的值域3x~+3兀+1X2+X+1(2)兀+1解:(1),可知xeR分母x2+x+1恒不为0,则原式可化为(x2+x+l)y=3/+3x4-1整理成关于x的方程得：(y-3)F+(y-3)x+y-l=0.••△=(y_3)2_4(y-3)(y-l)=(y-3)(y-3-4y+4)=-(y-3)(3y-1)20解得：-16、的值域是：1,3JT+X+13(2),将函数两边平方得:一（兀+1）2于是:y2x2+(2/-l)x+y2+l=0由于x是实数，故y工0A=(2y2-l)2-4/(/+l)>0得:F）因为函数的定义域为［"）,显然0所以函数y=^-的值域是：
17、o,—Ix+1L4」（七）不等式法利用基本不等式a^h>2y/ahya+h+c>3yfabc求函数的值域，要注意条件“一正、二定、三相等”2x例7：求函数尸島的值域解:当20x+->2^2,X.•.0<1半¥当x=0时y=0所以函数y=4^的值域是:V
18、V2T'3（八）函数单调性法利用函数在定
19、义域屮的单调性求其值域兀2+5例&求函数y=卓工的值域解:%2+5Jx1+4二&+4+"Vx2+4令z=V?T4>2,故不能使用不等式,但y=f+l在t>l时为增函数t2x「5所以函数y=^-的值域是：厂+2L2丿（九）分离系数法对
