03空间向量的数量积运算-2019年高考数学考点讲解（四）

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1、三维目标：1.掌握空间向量的数量积定义。2.能应用数量积解决简单儿何问题。重点难点：掌握空间向量夹角的概念及表示方法，掌握两个向量的数量积概念、性质和计算方法及运算规律.教学建议：常握空间向量的数量积运算及向量的夹角概念；运用公式解决立体几何中的有关问题。培养学生观察、分析、类比转化的能力；探究空间儿何图形，将儿何问题代数化，提高分析问题、解决问题的能力。通过空间向量在立体儿何中的应用，提高学生的空间想象力，培养学生探索精神和创新意识，让学生感受数学，体会数学美的魅力.新课导入1.冋顾平面向量的数量积的运算，并完成下表：设a=（%.,口），*3,乃）.运算

2、类型几何方法坐标方法向量的数量积a*b是一个2.a=0或b=0时，a•b=3.且方HO时，a•b=a•b=1.数0

3、a

4、

5、Z>

6、cos(a,b)xXz--yy-i2.向量的数量积运算性质：a■b=，（人q）•b==,（日+方）•c=,a=或/$/=/a•b]W.2.b•a日•（久方）入（a・4a•c+b•ca'x+ya\b读教材・究本源♦知识点一空I'可向量的夹角1.如图3-1-8,已知两个非零向量曰，b,在空间任取一点0,作0A=a,0B=b,则ZA0B叫作向量乩方的,记作•1.夹角〈日，方〉2.〈爲，方〉=〈&,8〉，$和&的夹角的范围是

7、，其屮当〈曰，b）=0时，a与b；当〈爲,方〉=兀吋，曰与Z?，当〈爲，方〉=守吋，a与b.反之，若a〃b,贝9

8、a

9、

10、bcos(a,b)a•ba•b=a\bcos方〉2.空间向暈数量积的性质(1)a±Z?<=>.(2)a2=或

11、引=•(3)cos〈日，b)=.2.(l)a・b=0(2)a•ayja•aa・bIalb3.空间向量数量积运算律(1)(a)・b==.(2)a-b=(

12、交换律).(3)日・(b+c)=(分配律).注：没有结合律(a•b)•c=a・b•c2.(1)人(日•方)日•(儿方)(2)Z?•a(3)a•b+a•c备课素材1.注意向量乘法的结合律是不成立的，即日・(b・6)=(£・/?)・c是不成立.事实上a•lb・b表示与日平行的向量，而・Q表示与Q平行的向量.2.两个非零向量共线时，如果同向，夹角为0,如果异向，夹角为特别的〈曰，臼〉=0,〈臼，一臼〉=3.注意二个向量夹角的范围：[0,n],当夹角为锐角时其余眩值为正，当夹角为钝角时其余弦值为负.反Z当两向量不共线时亦成立.4.通过学习，体会到我们可以利用向量数

13、量积解决立体几何中的以下问题：证明两直线垂直.；求两点之间的距离或线段长度；证明线面垂直•.求两直线所成角的余弦值等.探要点・究所然♦考点一.数量积的计算倒1已知a=3p—2q,b=p+qtp和g是相互垂直的单位向量，则a・b=()A.1B.2C.3D.4【答案】A【解析】Tp丄g且P=丨g

14、=1，.*.a・b=(3p—2g)・(p+g)=3p+p•q—2q'=3+0—2=1.例2如图3-1-9,已知长方体ABCD-A.RGR中,AB=AA{=29初=4,E为個的中点，F为川〃的中点.试计算：⑴貶'・厉；（2）寿・亦.DD【解析】设壶=码AD=b,AAi=

15、c?贝ij

16、a

17、=

18、c

19、=2,

20、A

21、=4,町a=0.(1)產•酋=b・7(c+a)+b=b

22、*=4'=16・・(c+a)=

23、心卩一

24、耀

25、J=2:-2^=0.♦考点二利用数塑积证明垂直关系例1己知空间四边形必⑦中，ABVCD.ACLBD,那么初与％的位置关系为.（填“平行”或“垂直”）【答案】垂直【解析】乔•庞=（為+丽•（花一勸=乔・走、+励.花一乔一乔.~BD=繭.（花一筋一劭=乔■辰0.例2如图3-1-10,在四棱锥P-ABCD4底面肋G?为平行川边形，Z〃初=60°,AB=2AD,皿丄底面ABCD.求证：PA丄BD.图3-1-10【解析】证明：•:

26、PA=DA—DP,DB=DA+DC.：・PA・DB=（DA_DB・（DA+DO=^+DA•DC—DP•DA~DP•〃片茄彳+丨茹

27、・2

28、^

29、・cos120°=0.:.PAJDB,艮卩/为丄％♦考点三利用向量的数量积解决夹角问题I例如图3-1-11,在空间四边形创％中，刃=8,AB=6,AC=A.BC=5,ZOAC=45°,Z^=60°,求创与恭的夹角的余眩值.图3-1-11【解析】・••尿二吗・■•怎・庞二苗・AC-M・盍=1^1l^lcos庞〉-1^1

30、J5

31、cos榻〉AB>=8X4XCOS1350-8X6XCOS120°=24-16品二加与血的夹角的余

32、弦值为咤血♦考点四利用空间向量的数量积运算求空间中的距离Ml如图3