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时间:2019-02-07
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1、一、正交向量组二、标准正交基§2标准正交基三、正交矩阵§2标准正交基设V为欧氏空间,非零向量①若则是正交向量组.②正交向量组必是线性无关向量组.一、正交向量组定义:如果它们两两正交,则称之为正交向量组.注:§2标准正交基证:设非零向量 两两正交.令则由 知故 线性无关.§2标准正交基④维欧氏空间中正交向量组所含向量个数③欧氏空间中线性无关向量组未必是正交向量组.例如: 中线性无关.但 不是正交向量组.§2标准正交基1.几何空间 中的情况在直角坐标系下是由单位向量构成的正交向量组,即二、标准正交基是的一组基.§2标准
2、正交基设①从②③得④即在基 下,中的与内积有关的度量性质有简单的表达形式.§2标准正交基维欧氏空间中,由个向量构成的正交向量组称为正交基;2.标准正交基的定义由单位向量构成的正交基称为标准正交基.注:①由正交基的每个向量单位化,可得到一组标准正交基.§2标准正交基②维欧氏空间V中的一组基 为标准正交基③维欧氏空间V中的一组基为标准正交基当且仅当其度量矩阵(1)④维欧氏空间V中标准正交基的作用:设 为V的一组标准正交基,则§2标准正交基(i)设由(1),(ii)(3)这里(iii)有(2)§2标准正交基(定理1)维欧氏空间中任一个正交向
3、量组都能扩充成一组正交基.证:设 欧氏空间V中的正交向量组,对 作数学归纳法.当 时,3.标准正交基的构造─施密特(Schmidt)正交化过程就是一组正交基了.1)§2标准正交基使假设 时结论成立,即此时可找到向量成为一组正交基.现在来看 的情形.所以必有向量不能被 线性表出,因为作向量待定.§2标准正交基从正交向量组的性质知于是取即 为正交向量组.由归纳法假设知,对这 个向量构成的正交组可得可扩充得正交基.于是定理得证.§2标准正交基2)都可找到一组标准正交基 使证:基本方法─逐个构成出满足要求的(定理2)
4、对于维欧氏空间中任一组基首先,可取§2标准正交基一般地,假定已求出 是单位正交的,且(4)当 时,因为有由(4)知不能被 线性表出.按定理1证明中的方法,作向量(5)即§2标准正交基再设可知 是单位正交向量组.从(4)和(5)知 与是等价向量组,因此,有由归纳原理,定理2得证.则 且§2标准正交基则过渡矩阵 是上三角形(即 )注:且①由知,若§2标准正交基②Schmidt正交化过程:化成正交向量组先把线性无关的向量组再单位化得标准正交向量组§2标准正交基例1.把变成单位正交的向量组.解:令正交化§2标准
5、正交基再单位化即为所求.§2标准正交基例2.在 中定义内积为求 的一组标准正交基.(由基 出发作正交化)解:取正交化§2标准正交基§2标准正交基§2标准正交基单位化§2标准正交基于是得 的标准正交基§2标准正交基设与 是维欧氏空间V中的两组标准正交基,它们之间过渡矩阵是即4.标准正交基间的基变换或由于 是标准正交基,所以(6)§2标准正交基由公式(3),有(7)把A按列分块为由(7)有(8)§2标准正交基则称A为正交矩阵.2)由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵.三、正交矩阵1.定义设若A满足2.简单性质1
6、)A为正交矩阵§2标准正交基3)设 是标准正交基,A为正交矩阵,若则 也是标准正交基.4) 为正交矩阵A的列向量组是欧氏空间的标准正交基.6) 为正交矩阵A的行向量组是欧氏空间的标准正交基.5) 为正交矩阵§2标准正交基作业P39578
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