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《时离散代数riccati方程正半定解的矩阵界和简单迭代》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、第34卷第4期厦门大学学报(自然科学版)Vol.34No.41995年7月JournalofXiamenUniversity(NaturalSeienee)1995ccati时离散代数Ri方程正半定解的¹矩阵界和简单迭代卢琳璋(数学研究所)摘要给出时离散代数Ricati方程正半定解的一个上下界和一个简单迭代,并有数值例子.cati方程,矩阵,关键词Ri正(半)定迭代中国图书分类号0241·6,0241·7eeari:考虑时离散代数Ri方程(DARE)TIZ’I一ITFXF一X一FXG(G+G了XG)G了XF+H一。(l)
2、.F、X、x”,lx,I,:,I”’,Z,TDARE这里H任尸G任R’lG任R且G歹一G>0(正定)H~H)0(正半定)经常出现在诸如信号处理和控制论这些研究领域[l.2〕.C,,F,,T,C,设H有满秩分解H~C了那末在(G)和(F孙可稳的条件下(l)有唯一的正半定.,.解X[1.2〕x是困难的即使要给出X的比较精确的估计也不容易3但是要计算这个解[〕仅给出了,GZ一I,X>o的.3X的一个下界且是在设条件下给出的本文将给出比[〕更精确的下界,并由此导出一个求X的简单迭代和X的一个上界.1记号和基本引理为方便起见,记
3、TTIZ,一ID(X)二FXF一FXG(G+G了XG)G了XF+H(2).、V任大’,、V,这样(l)可以表示为X一D(X)设U尸U>(妻)V表示U是对称的且U一V是正定(正半定)的,或U一v>())0.i‘]、”“”,,引理[给定UV任R若U)V>o那么V一‘)U一‘>O(3)4〕、v任只”,,A任只r引理21给定U尸若U)v>o那么对任意尸T矛UA妻AVA)0(4)5〕A任入’,,、V〔”,引理31设矩阵尸非奇Ur则T一’一’一‘U(I+VTA一’一‘VTA一‘(A+UV)一A一AU)(5)一一一一.(5)是著名的
4、ShermanMorrisonWoodburg(SMW)公式19一12一;¹本文9409收到国家基础性研究重大关键项目和福建省自然科学基金资助项目:c··第4期卢琳璋时离散代数Ricati方程正半定解的矩阵界和简单迭代5132主要结果,引理1如果U)V)O那么D(U))D(V)(6),,证对任意小的正数a由于U)V)o有U+al)V+al>O(7),‘一’,Z’,I’,由引理1(V+aI犷)(U+aI)>O再由G>O及引理2可得G牙>。GG歹G不)。从而一‘:’一‘I‘o(v+aI)+GG于Gr)(U+aI)+GG牙G不
5、>(8)仍由引理1又得al)一’,‘一’V+al)一’I’一‘o[(U++GG牙G不」)[(+GG于G了〕>(9)一一SMw公式给出一‘IG于‘一‘[(U+aI)+GG门al)一’,了I万丁一’一[(U++GG二)(GG歹)〕al一(u+I万万,万一‘了a一u十aI)GG歹口+G二G不(u+aI)GG歹〕G于G了(u+l)al一(U+aI:al)G:一‘al)一U+l)G[G+G了(U+〕G不(U+,因此(9)可以写成,Zl一’U+(U+aI)G[G+G了(U+aI)G]G了(U+aI)V一(V+al)GIZal)G,一
6、’al))〔G+G了(v+〕G了(v+,aO即得在上式两边令~,:,一‘I:I一‘VU一UG(G+G了UG)G了U)v一vG(G+G了vG)G不..2,即得D(V)应用引理U))D(证毕,,推论2设X是(l)的唯一正半定解U)X(X异V)则D(U))X(X)D(V))(10)证由定理1,D(U))D(X)~X(X一D(X))D(V).证毕.,定理3对任意的U)0D(U)一H)O,Z,一‘,,,证由于D(U)一H一F伙U一UG(G十G了UG)G了U)F由引理2要证D(U)一H)。只要证,ZI一IU一UG(G+G了UG)G不
7、U)O(11)即可.设U有分解U一U了U,,记一U,G,K则I:I一‘GU一UI一U,,:IGI一’,U一UG(G+G了UG)不了「G(G+G不U了U)G了U不」U:T一’Tl一U了[I一K(G+KK)K〕U,,这样要证(11)只要证I一K(GZT一‘T0(12)+KK)K)‘T,O,一一记M~KG于K则M)且由SMW公式KZT一’T‘‘T’T一‘‘T(G+KK)K=K「G于一G牙K(I+KG子K)KG牙〕K一I=M一M(I+M)M,对M的任一特征值*)。易得,一M十M(,+M)一IM有相应的特征值,一1一,+羔-1门e
8、s八_.,、、,,,,,,.,,,,.、,、,、,.,,‘J,.._1~。。.。一__二~一~~一~。一,’一一~一,_了下万笋U此即祝明似与1一似十似以十似少叼有相l司四元笙符址l叫重示且石有足止牛走1下八.514.厦门大学学报(自然科学版)1995年的,(12)成立.证毕·,推论4设X是(l)唯一的正半定解则X)
