【5A版】复合函数及抽象函数的单调性.ppt

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1、复合函数的单调性复合函数的定义：设y=f(u)定义域A，u=g(x)值域为B，若AB，则y关于x函数的y=f[g(x)]叫做函数f与g的复合函数，u叫中间量复合函数的单调性复合函数的单调性由两个函数共同决定；引理1：已知函数y=f[g(x)]，若u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，其值域为(c,d),又函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，那么，原复合函数y=f[g(x)]在区间(a,b)上是增函数。证明：在区间(a,b)内任取两个数x1,x2,使a

2、,记u1=g(x1),u2=g(x2),即u1

3、(x)在区间(a,b)上是减函数，所以g(x1)>g(x2),记u1=g(x1),u2=g(x2),即u1>u2，且u1,u2(c,d).因为函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，所以f(u1)

4、减函数解：由1-9x2≥0得：-1/3≤x≤1/3当-1/3≤x≤0,x增大时，1-9x2增大，f(x)减小当0

5、－x2+2①y=－t2+2t+8②函数②的增、减转折点是t=1，把t=1代入①，得x1=－1，x2=1，又①的增、减转折点是x3=0，于是三个关节点把数轴分成四个区间：，，，(1)x∈(-∞,-1]时,函数①递增,且t≤1,而t∈(-∞,1]时,函数②也递增，故(-∞,-1]是所求的一个单调增区间；(2)x∈(-1,0]时，函数①递增，且t∈(1,2]，而t∈(1,2]时，函数②递减，故(-1,0]是g(x)的单调减区间；(3)x∈(0,1]时,函数①递减，且t∈(1,2]，而t∈(1,2],函数②也递减，故(0,1]是g(x)的单调增区间；（4

6、）x∈(1，+∞)时，函数①递减，且t∈(－∞，1)而t∈(－∞，1)时，函数②递增，故(1，+∞)是g(x)的单调减区间．综上知，所求g(x)的增区间是和例2：设f(x)是定义在实数集R上的偶函数，且在区间（-∞，0]上是增函数，又f(2a2+a+1)

7、+1),试求a的取值范围。抽象函数例4:例6:已知是定义在[-1,1]上的奇函数，则有(1)判断（2）解不等式在[-1,1]上的增减性，并证明你的结论；解：（1）在[-1,1]上增。证明：任取则故在[-1,1]上增。若（2）在[-1,1]上增，不等式的解集为是定义在[-1,1]上的奇函数，则有在[-1,1]上的增减性，并证明你的结论；若例6:已知(1)判断复合函数的单调性小结复合函数y=f[g(x)]的单调性可按下列步骤判断：(1)将复合函数分解成两个简单函数：y=f(u)与u=g(x)。其中y=f(u)又称为外层函数,u=g(x)称为内层函数;

8、(2)确定函数的定义域；(3)分别确定分解成的两个函数的单调性；(4)若两个函数在对应的区间上的单调性相同（即都是增函数，或都是减函数）