xx届高考数学轮向量的数量积专项复习教案

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1、XX届高考数学轮向量的数量积专项复习教案　　2向量的数量积　　●知识梳理　　数量积的概念：　　向量的夹角：如下图，已知两个非零向量a和b，作=a，=b，则∠AoB=θ叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉.　　数量积的定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量

2、a

3、

4、b

5、cosθ叫做a与b的数量积，记作a•b，即a•b=

6、a

7、

8、b

9、cosθ.　　数量积的几何意义：数量积a•b等于a的模与b在a方向上的投影

10、b

11、cosθ的乘积.　　数量积的性质：设e是单位向量，〈a，e〉=θ.　　e•a=a•e=

12、a

13、cosθ.　

14、　当a与b同向时，a•b=

15、a

16、

17、b

18、；当a与b反向时，a•b=－

19、a

20、

21、b

22、，特别地，a•a=

23、a

24、2，或

25、a

26、=.　　a⊥ba•b=0.　　cosθ=.　　

27、a•b

28、≤

29、a

30、

31、b

32、.　　运算律：a•b=b•a；•b=λ=a•；•c=a•c+b•c.　　向量数量积的坐标运算：　　设a=，b=，则　　a•b=x1x2+y1y2；　　

33、a

34、=；　　cos〈a，b〉=；　　a⊥ba•b=0x1x2+y1y2=0.　　思考讨论　　c与a是否相等?　　●点击双基　　已知a、b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么

35、a+3b

36、等于

37、　　A.B.c.D.4　　解析：

38、a+3b

39、====.　　答案：c　　若向量a与b的夹角为60°，

40、b

41、=4，•=－72，则向量a的模是　　A.2B.4c.6D.12　　解析：•=

42、a

43、2－

44、a

45、

46、b

47、cos60°－6

48、b

49、2=

50、a

51、2－2

52、a

53、－96=－72，∴

54、a

55、2－2

56、a

57、－24=0.∴•=0.∴

58、a

59、=6.　　答案：c　　已知a=，b=，且a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围是　　A.λ＞B.λ≥　　c.λ＜D.λ≤　　解析：∵a与b的夹角为钝角，∴cos〈a，b〉＜0.　　∴a•b＜0.∴－3λ+10＜0.∴λ

60、＞.　　答案：A　　已知点A，若向量与a=同向，

61、

62、=2，则点B的坐标为____________.　　解析：设A点坐标为，B点坐标为.　　∵与a同向，∴可设=λa=.　　∴

63、

64、==2，∴λ=2.　　则==，　　∴∵∴∴B点坐标为.　　答案：　　已知点A和向量a=，若=3a，则点B的坐标为____________.　　解析：设B点坐标为，则==3a=，　　∴∴∴B.　　答案：　　●典例剖析　　【例1】判断下列各命题正确与否：　　若a≠0，a•b=a•c，则b=c；　　若a•b=a•c，则b≠c当且仅当a=0时成立；　　c=

65、a对任意向量a、b、c都成立；　　对任一向量a，有a2=

66、a

67、2.　　剖析：可由数量积的定义判断.通过计算判断.把a2转化成a•a=

68、a

69、2可判断.　　解：a•b=a•c，∴

70、a

71、

72、b

73、cosα=

74、a

75、

76、c

77、cosβ.∵

78、a

79、≠0，∴

80、b

81、cosα=

82、c

83、cosβ.　　∵cosα与cosβ不一定相等，∴

84、b

85、与

86、c

87、不一定相等.∴b与c也不一定相等.∴不正确.　　若a•b=a•c，则

88、a

89、

90、b

91、cosα=

92、a

93、

94、c

95、cosβ.　　∴

96、a

97、=0.　　∴

98、a

99、=0或

100、b

101、cosα=

102、c

103、cosβ.　　当b≠c时，

104、b

105、cos

106、α与

107、c

108、cosβ可能相等.　　∴不正确.　　c=c，　　a=a

109、b

110、

111、c

112、cosθ.　　c是与c共线的向量，　　a是与a共线的向量.　　∴不正确.正确.　　评述：判断上述问题的关键是要掌握向量的数量积的含义，向量的数量积的运算律不同于实数乘法的运算律.　　【例2】平面内有向量=，=，=，点X为直线oP上的一个动点.　　当•取最小值时，求的坐标；　　当点X满足的条件和结论时，求cos∠AXB的值.　　剖析：因为点X在直线oP上，向量与共线，可以得到关于坐标的一个关系式，再根据•的最小值，求得的坐标，而cos∠AXB是与夹

113、角的余弦，利用数量积的知识易解决.　　解：设=，　　∵点X在直线oP上，∴向量与共线.　　又=，∴x－2y=0，即x=2y.　　∴=.又=－，=，∴=.　　同样=－=.　　于是•=+=2－20y+12=52－8.　　∴当y=2时，•有最小值－8，此时=.　　当=，即y=2时，有=，=.　　∴

114、

115、=，

116、

117、=.　　∴cos∠AXB==－.　　评述：中最值问题不少都转化为函数最值问题解决，因此解题关键在于寻找变量，以构造函数.而中即为数量积定义的应用.　　【例3】已知向量、、满足++=0，

118、

119、=

120、

121、=

122、

123、=1.　　求证：△P1

124、P2P3是正三角形.　　剖析：由

125、

126、=

127、

128、=

129、

130、=1知o是△P1P2P3的外接圆的圆心，要证△P1P2P3是正三角形，只需证∠P1oP2=∠P2oP3=∠P3oP1即可，即需求与，与，与的夹角.由++=0变形可出现数量积，进而求夹角.　　证明：∵++=0，∴+=－.∴

131、+

132、=

133、－

134、.　　∴

135、

136、2+

137、

138、2+2•=

139、

140、2