2012届高考数学第一轮向量的数量积专项复习教案

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1、2012届高考数学第一轮向量的数量积专项复习教案　　5.2向量的数量积　　●知识梳理　　1.数量积的概念：　　（1）向量的夹角：如下图，已知两个非零向量a和b，作=a，=b，则∠AOB=θ（0°≤θ≤180°）叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉.　　（2）数量积的定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量

2、a

3、

4、b

5、cosθ叫做a与b的数量积，记作a•b，即a•b=

6、a

7、

8、b

9、cosθ.　　（3）数量积的几何意义：数量积a•b等于a的模与b在a方向上的投影

10、b

11、cosθ的乘积.　　2.数量积的性质：设e是单位向量，〈a，e

12、〉=θ.　　（1）e•a=a•e=

13、a

14、cosθ.　　（2）当a与b同向时，a•b=

15、a

16、

17、b

18、；当a与b反向时，a•b=－

19、a

20、

21、b

22、，特别地，a•a=

23、a

24、2，或

25、a

26、=.　　（3）a⊥ba•b=0.　　（4）cosθ=.　　（5）

27、a•b

28、≤

29、a

30、

31、b

32、.　　3.运算律：（1）a•b=b•a；（2）（λa）•b=λ（a•b）=a•（λb）；（3）（a+b）•c=a•c+b•c.　　4.向量数量积的坐标运算：　　设a=（x1，y1），b=（x2，y2），则　　（1）a•b=x1x2+y1y2；　　（2）

33、a

34、=；　　（3）cos〈

35、a，b〉=；　　（4）a⊥ba•b=0x1x2+y1y2=0.　　思考讨论　　（a•b）c与a（b•c）是否相等?　　●点击双基　　1.（2004年全国Ⅰ，3）已知a、b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么

36、a+3b

37、等于　　A.　　B.　　C.　　D.4　　解析：

38、a+3b

39、====.　　答案：C　　2.若向量a与b的夹角为60°，

40、b

41、=4，（a+2b）•（a－3b）=－72，则向量a的模是　　A.2　　B.4　　C.6　　D.12　　解析：（a+2b）•（a－3b）=

42、a

43、2－

44、a

45、

46、b

47、cos60°－6

48、b

49、2=

50、a

51、2－2

52、

53、a

54、－96=－72，∴

55、a

56、2－2

57、a

58、－24=0.∴（

59、a

60、－6）•（

61、a

62、+4）=0.∴

63、a

64、=6.　　答案：C　　3.已知a=（λ，2），b=（－3，5），且a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围是　　A.λ＞　　B.λ≥　　C.λ＜　　D.λ≤　　解析：∵a与b的夹角为钝角，∴cos〈a，b〉＜0.　　∴a•b＜0.∴－3λ+10＜0.∴λ＞.　　答案：A　　4.（2004年上海，6）（理）已知点A（1，－2），若向量与a=（2，3）同向，

65、

66、=2，则点B的坐标为____________.　　解析：设A点坐标为（xA，yA），B

67、点坐标为（xB，yB）.　　∵与a同向，∴可设=λa=（2λ，3λ）（λ＞0）.　　∴

68、

69、==2，∴λ=2.　　则=（xB－xA，yB－yA）=（4，6），　　∴∵∴∴B点坐标为（5，4）.　　答案：（5，4）　　（文）已知点A（－1，－5）和向量a=（2，3），若=3a，则点B的坐标为____________.　　解析：设B点坐标为（xB，yB），则=（xB+1，yB+5）=3a=（6，9），　　∴∴∴B（5，4）.　　答案：（5，4）　　●典例剖析　　【例1】判断下列各命题正确与否：　　（1）若a≠0，a•b=a•c，则b=c；　

70、　（2）若a•b=a•c，则b≠c当且仅当a=0时成立；　　（3）（a•b）c=a（b•c）对任意向量a、b、c都成立；　　（4）对任一向量a，有a2=

71、a

72、2.　　剖析：（1）（2）可由数量积的定义判断.（3）通过计算判断.（4）把a2转化成a•a=

73、a

74、2可判断.　　解：（1）a•b=a•c，∴

75、a

76、

77、b

78、cosα=

79、a

80、

81、c

82、cosβ（其中α、β分别为a与b，a与c的夹角）.∵

83、a

84、≠0，∴

85、b

86、cosα=

87、c

88、cosβ.　　∵cosα与cosβ不一定相等，∴

89、b

90、与

91、c

92、不一定相等.∴b与c也不一定相等.∴（1）不正确.　　（

93、2）若a•b=a•c，则

94、a

95、

96、b

97、cosα=

98、a

99、

100、c

101、cosβ（α、β为a与b，a与c的夹角）.　　∴

102、a

103、（

104、b

105、cosα－

106、c

107、cosβ）=0.　　∴

108、a

109、=0或

110、b

111、cosα=

112、c

113、cosβ.　　当b≠c时，

114、b

115、cosα与

116、c

117、cosβ可能相等.　　∴（2）不正确.　　（3）（a•b）c=（

118、a

119、

120、b

121、cosα）c，　　a（b•c）=a

122、b

123、

124、c

125、cosθ（其中α、θ分别为a与b，b与c的夹角）.　　（a•b）c是与c共线的向量，　　a（b•c）是与a共线的向量.　　∴（3）不正确.（4）正确.　　评述：判断上述问题的关键

126、是要掌握向量的数量积的含义，向量的数量积的运算律不同于实数乘法的运算律.　　【例2】平面内有向量=（1，7），=（5，1），=（2，1），点X为直线OP上的一个动点.　　（1）当•取最小值时，求的坐标；　　（2）当点X满