高中数学 第二章 空间向量与立体几何章末复习课学案 北师大版选修2-1

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1、第二章空间向量与立体几何学习目标　1.理解空间向量的概念，掌握空间向量的运算法则及运算律.2.掌握空间向量数量积的运算及其应用，会用数量积解决垂直问题、夹角问题.3.理解空间向量基本定理，掌握空间向量的坐标表示.4.会用基向量法、坐标法表示空间向量.5.会用向量法解决立体几何问题.知识点一　空间中点、线、面位置关系的向量表示设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为μ，v，则线线平行l∥m⇔a∥b⇔a＝kb，k∈R线面平行l∥α⇔____________⇔____________面面平行α∥β⇔μ∥v⇔__________

2、__线线垂直l⊥m⇔______⇔______线面垂直l⊥α⇔a∥μ⇔a＝kμ，k∈R面面垂直α⊥β⇔μ⊥v⇔______线线夹角l，m的夹角为θ(0≤θ≤)，cosθ＝______线面夹角l，α的夹角为θ(0≤θ≤)，sinθ＝______面面夹角α，β的夹角为θ(0≤θ≤)，cosθ＝______知识点二　用坐标法解决立体几何问题步骤如下：(1)建立适当的空间直角坐标系；(2)写出相关点的坐标及向量的坐标；(3)进行相关坐标的运算；(4)写出几何意义下的结论.关键点如下：(1)选择恰当的坐标系.坐标系的选取很重要，恰当的坐标系可以使得点

3、的坐标、向量的坐标易求且简单，简化运算过程.非常感谢上级领导对我的信任，这次安排我向股份公司述职，既是对我履行职责的监督，也是对我个人的关心和爱护，更是对**百联东方商厦有限公司工作的高度重视和支持。(2)点的坐标、向量的坐标的确定.将几何问题转化为向量的问题，必须确定点的坐标、直线的方向向量、平面的法向量，这是最核心的问题.(3)几何问题与向量问题的转化.平行、垂直、夹角问题都可以通过向量计算来解决，如何转化也是这类问题解决的关键.类型一　空间向量及其运算例1　如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，S到A、B、C、D

4、的距离都等于2.给出以下结论：①＋＋＋＝0；②＋－－＝0；③－＋－＝0；④·＝·；⑤·＝0.其中正确结论的序号是________.反思与感悟　向量的表示与运算的关键是熟练掌握向量加减运算的平行四边形法则、三角形法则及各运算公式，理解向量运算法则、运算律及其几何意义.跟踪训练1　如图，在平行六面体A1B1C1D1—ABCD中，M分成的比为，N分成的比为2，设＝a，＝b，＝c，试用a、b、c表示.非常感谢上级领导对我的信任，这次安排我向股份公司述职，既是对我履行职责的监督，也是对我个人的关心和爱护，更是对**百联东方商厦有限公司工作的高度重视和

5、支持。类型二　利用空间向量解决位置关系问题例2　在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，ABCD是正方形，E是PA的中点，求证：(1)PC∥平面EBD.(2)平面PBC⊥平面PCD.反思与感悟　(1)证明两条直线平行，只需证明这两条直线的方向向量是共线向量.(2)证明线面平行的方法①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直.②能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量共线.③利用共面向量定理，即证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面向量.(3)证明面面平行的方法①转化为线线平行、线面平行处理.②证明这两个平面的法向量是共线向量.

6、(4)证明两条直线垂直，只需证明这两条直线的方向向量垂直.(5)证明线面垂直的方法①证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量.②证明直线的方向向量与平面内的两个不共线的向量互相垂直.(6)证明面面垂直的方法①转化为证明线面垂直.②证明两个平面的法向量互相垂直.跟踪训练2　在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点，求证：平面AED⊥平面A1FD1.类型三　利用空间向量求角例3　如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝16，BC＝10，AA1＝8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E＝D1F＝4.

7、过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.非常感谢上级领导对我的信任，这次安排我向股份公司述职，既是对我履行职责的监督，也是对我个人的关心和爱护，更是对**百联东方商厦有限公司工作的高度重视和支持。(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；(2)求直线AF与平面α所成角的正弦值.反思与感悟　用向量法求空间角的注意点(1)异面直线所成角：两异面直线所成角的范围为0°<θ≤90°，需找到两异面直线的方向向量，借助方向向量所成角求解.(2)直线与平面所成的角：要求直线a与平面α所成的角θ，先求这个平面α的法向量n与直线a的

8、方向向量a的夹角的余弦cos〈n，a〉，再利用公式sinθ＝

9、cos〈n，a〉

10、，求θ.(3)二面角：如图，有两个平面α与β，分别作这两个平面的法向量n1与n2，则平面α与β所成