高中数学 第三章 统计案例 3_2 回归分析课堂导学 苏教版选修2-31

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1、高中数学第三章统计案例3.2回归分析课堂导学苏教版选修2-3三点剖析一、线性回归【例1】一个车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此进行了10次试验,测得的数据如下:零件数x(个)102030405060708090100加工时间y(分)626875818995102108115122(1)y与x是否具有线性相关关系?(2)如果y与x具有线性相关关系,求回归直线方程.解析：(1)列出下表:i12345678910xi102030405060708090100yi6268758189951021081151

2、22xiyi62013602250324044505700714086401035012200∴=55,=91.7,=38500,=87777,=55950.因此,r==≈0.9998.由于r=0.9998^0.75,因此x与y之间具有很强的线性相关关系,因而可求回归直线方程.(2)设所求的回归直线方程为y^=b^x+a^,则有b^=≈0.668,a^=y-b^x=91.7-0.668×55=54.93,因此,所求的回归直线方程为y^=0.668x+54.93.二、非线性回归【例2】在彩色显像中,根据经验,形

3、成染料光学密度y与析出银的光学密度x之间有下面类型的关系式:y=,其中b^0.现对y及x同时作11次观察,获得11组数据如下表:编　号xiyi10.050.1020.060.1430.070.2340.100.3750.140.5960.200.7970.251.0080.311.1290.381.19100.431.25110.471.29求出y与x之间的回归方程.解析:令y′=lny,x′=,则变换为y′=lna-bx′,设a^′=lna,b^′=-b,将观察的数据(xi,yi)转化为(xi′,yi′)如下表:

4、编号xi′yi′xi′2xi′yi′120-2.303400-46.06216.667-1.966277.79-32.77314.286-1.47204.09-21410-0.994100-9.9457.143-0.52851.02-3.7765-0.23625-1.1874016083.2260.11310.410.3692.6320.1746.930.46102.3260.2235.410.52112.1280.2554.530.54∑87.408-6.7321101.17-112.84∴==1xi′≈7.95,==-0

5、.612,b^′=≈=-0.146,a^′=-b^′≈0.549.∴线性回归方程为y^′=0.549-0.146x′.由于b^=-b^′=0.146,a^==1.73,∴y与x之间的回归曲线方程为y^=.三、相关检验【例3】一只红铃虫的产卵数y和温度x有关,现收集了7组观测数据列成下表,试建立y与x之间的回归方程.温度x/℃21232527293235产卵数y/个711212466115325解析:根据收集的数据,作散点图,如图.从图中可以看出,样本点并没有分布在某个带状区域内,因此两个变量不呈线性相关关系,所

6、以不能直接利用线性回归方程来建立两个变量之间的关系,根据已有的函数知识,可以发现样本点分布在某一条指数函数曲线y=c1ec2x的附近,其中c1、c2为待定的参数.我们可以通过对数变换把指数关系变为线性关系,令z=lny,则变换后样本点分布在直线z=bx+a(a=lnc1,b=c2)的附近,这样可以利用线性回归建立y与x的非线性回归方程了.变换的样本点分布在一条直线的附近,因此可以用线性回归方程来拟合.由上表中的数据可得到变换的样本数据表,如下表:x21232527293235z1.9462.3983.0453.1784.

7、1904.7455.784可以求得线性回归直线方程为z^=0.272x-3.843.因此红铃虫的产卵数对温度的非线性回归方程为y^=e0.272x-3.843.另一方面,可以认为图中的样本点集中在某二次曲线y=c3x2+c4的附近,其中c3,c4为待定参数,因此可以对温度变量进行变换,即令t=x2,然后建立y与t之间的线性回归方程,从而得到y与x之间的非线性回归方程.下表是红铃虫的产卵数和对应的温度的平方的线性回归模型拟合表,作出相应的散点图,如图:t44152962572984110241225y711212466115

8、325从图中可以看出,y与t的散点图并不分布在一条直线的周围,因此不宜用线性回归方程来拟合它,即不宜用二次函数y=c3x2+c4来拟合x与y之间的关系,因此利用y^=e0.272x-3.843来拟合效果较好.各个击破类题演练1弹簧长度y(cm)随所挂物体质量x(g)不同而变化