高中数学 第一章 导数及其应用 1_1 导数课堂探究 新人教b版选修2-21

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1、高中数学第一章导数及其应用1.1导数课堂探究新人教B版选修2-2探究一求函数的平均变化率1．求函数y＝f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率的步骤是：(1)求函数值的增量：Δy＝f(x2)－f(x1)；(2)求自变量的增量：Δx＝x2－x1；(3)作商即得平均变化率：＝.2．运动物体在t0到t1这段时间内运动的平均速度就是物体运动的位移函数s(t)在区间[t0，t1]上的平均变化率，因此求平均速度的实质也是求函数的平均变化率．【典型例题1】(1)求函数f(x)＝在区间[－1,0]，[1,3]，[x0，x0＋1]上的平均变化率．(2)若某一物体

2、的运动方程为s＝－2t2，那么该物体在t＝2到t＝3时的平均速度为__________．思路分析：(1)按照平均变化率的定义分三步求解；(2)实质就是求函数s(t)在区间[2,3]上的平均变化率．(1)解：f(x)＝在区间[－1,0]上的平均变化率为：＝＝＝－；f(x)＝在区间[1,3]上的平均变化率为：＝＝＝－；f(x)＝在区间[x0，x0＋1]上的平均变化率为：＝＝－＝.(2)解析：平均速度为＝＝－10，故该物体在t＝2到t＝3时的平均速度为－10.答案：－10探究二导数定义的应用1．利用导数的定义可以求函数的导函数或函数在某一点处的导数．求

3、导函数时，可按如下步骤进行：(1)求函数的增量Δy＝f(x＋Δx)－f(x)；(2)求平均变化率＝；(3)取极限，得导数f′(x)＝.2．求函数f(x)在x＝x0处的导数时，可以有两种方法：一是直接利用导数的定义求得，即f′(x0)＝；二是先利用导数的定义求出f′(x)，再计算f′(x)在x＝x0的函数值．【典型例题2】(1)求函数f(x)＝x3＋x在x＝1处的导数；(2)求函数f(x)＝2的导数．思路分析：对于(1)可有两种方法：一是直接利用导数定义求解，二是先求出f′(x)，再令x＝1求得f′(x)的函数值即得导数值；对于(2)可按照导函数的

4、定义直接求导数．解：(1)(导数定义法)因为Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)3＋(1＋Δx)－2＝(Δx)3＋3(Δx)2＋4Δx，所以＝(Δx)2＋3Δx＋4，于是f(x)在x＝1处的导数f′(1)＝＝[(Δx)2＋3Δx＋4]＝4.(导函数的函数值法)因为Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝(x＋Δx)3＋(x＋Δx)－x3－x＝(Δx)3＋3·(Δx)2·x＋3·Δx·x2＋Δx，所以＝(Δx)2＋3·Δx·x＋3x2＋1.于是f(x)的导数f′(x)＝＝3x2＋1.从而f′(1)＝3×12＋1＝4.(2)因为Δy＝f(x＋Δx)－

5、f(x)＝2－2，所以＝＝＝，于是f(x)的导数f′(x)＝＝＝.点评利用导数定义求导数的关键在于取极限后，对的变形与化简，使之能够约去分母中的Δx，然后求得导数．探究三导数的几何意义及其应用1．导数的几何意义：曲线y＝f(x)在点(x0，y0)处的切线的斜率就是函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，而切线的斜率就是切线倾斜角的正切值．2．运用导数的几何意义解决曲线的切线问题时，一定要注意所给的点是否在曲线上，若点在曲线上，则该点的导数值就是该点处的曲线切线的斜率；若点不在曲线上，则该点的导数值不是切线的斜率．3．若所给的点不在曲线上，应另设切点，

6、然后利用导数的几何意义建立关于所设切点横坐标的关系式进行求解．【典型例题3】(1)已知曲线y＝x2－2上一点P，则过点P的切线的倾斜角为(　　)A．30°B．45°C．135°D．165°(2)已知函数f(x)＝2x＋，则曲线y＝f(x)在点(－1，－3)处的切线方程是__________．(3)若直线l：y＝4x＋a与曲线C：y＝x3－2x2＋3相切，求实数a的值和切点的坐标．思路分析：(1)先利用导数定义求出f(x)在x＝1处的导数，即得切线斜率，再根据斜率与倾斜角的关系求出倾斜角；(2)先利用导数定义求出切线斜率，再由直线方程的点斜式写出方

7、程；(3)应先设出切点，再根据导数的几何意义建立关系式求解．(1)解析：∵y＝x2－2，∴y′＝＝＝＝x，∴y′

8、x＝1＝1，∴过点P的切线的斜率为1，则切线的倾斜角为45°，故选B.答案：B(2)解析：函数f(x)＝2x＋在点x＝－1处的导数为f′(－1)＝＝＝1.因此由导数几何意义知，曲线y＝f(x)在点(－1，－3)处的切线的斜率k＝f′(－1)＝1，因此切线方程为y－(－3)＝x－(－1)，即y＝x－2.答案：y＝x－2(3)解：设直线l与曲线C相切于点P(x0，y0)，∵f′(x)＝＝3x2－4x.由导数的几何意义，得3x－4x0＝4，

9、解得x0＝－或x0＝2，∴切点的坐标为或(2,3)．当切点为时，有＝4×＋a，∴a＝；当切点为(2,3)时，有3＝4×2＋a，∴a＝－5