《概率论与数理统计》第二章随机变量及其分布

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1、第二章随机变量及其分布-1-第一节随机变量及其分布函数-2-一随机变量概念-2-二随机变量的分布函数-3-基础训练2.1-7-第二节离散型随机变量及其概率分布-7-一离散型随机变量及其概率分布-7-二常见的几种离散型随机变量及其分布-11-基础训练2.2-17-第三节连续型随机变量及其概率分布-17-一连续型随机变量及其分布的概念与性质-18-二常见的几种连续型随机变量及其分布-21-基础训练2.3-28-第四节随机变量函数的分布-28-一离散型随机变量函数的分布-29-二连续型随机变量的函数分布-30-基础训练2.4-35-综合训练二-35-内容

2、小结及题型分析二-35-拓展提高二-35-阅读材料二-35-数学实验二-35-第二章随机变量及其分布【本章导读】本章主要讲述随机变量与分布函数，一维离散型随机变量、连续型随机变量的概率分布，常见分布及函数的分布.【本章用到的先修知识】级数的运算，变限积分，分段函数的积分，无穷积分.【本章要点】随机变量的概念，分布函数，分布律，概率密度，常见随机变量的分布，函数的分布.在上一章中，我们用样本空间的子集，即基本事件的集合来表示随机试验的各种结果.这种表示的方式对全面讨论随机试验的统计规律性及数学工具的运用都有较大的局限.在本章中，我们将介绍概率论中另一

3、个重要的概念：随机变量.随机变量的引入，使概率论的研究由个别随机事件扩大为随机变量所表征的随机现象的研究.这样，不仅可更全面揭示随机试验的客观存在的统计规律性，而且可使我们用高等数学的方法来讨论随机试验.-34-第一节随机变量及其分布函数一随机变量概念在第一章里，我们主要研究了随机事件及其概率，读者可能会注意到在随机现象中，有很大一部分问题与实数之间存在着某种客观的联系.例如，在产品检验问题中，我们关心的是抽样中出现的废品数；在车间供电问题中，我们关心的是某时间段正在工作的车床数；在电话问题中关心的是某一段时间内的话务量等.对于这类随机现象，其试验

4、结果显然可以用数值来描述，并且随着试验的结果不同而取不同的数值。例如，从一批废品率为的产品中有放回地抽取次，每次取一件产品，记录取到废品的次数.这一试验的样本空间为.如果用表示取到废品的次数，那末，的取值依赖于实验结果，当实验结果确定了，的取值也就随之确定了.比如，进行了一次这样的随机试验，实验结果，即在次抽取中，只有一次取到了废品，那末.然而，有些初看起来与数值无关的随机现象，也常常能联系数值来描述.例如，掷一枚匀称的硬币，观察正面、背面的出现情况。这一试验的样本空间为，其中表示“正面朝上”，表示“背面朝上”，表面上看与数值没有联系.但如果引入变

5、量，对实验的两个结果，将的值分别规定为和，即：.一旦实验的结果确定了，的取值也就随之确定了。为了计算n次投掷中出现的正面次数就只须计算其中“1”出现的次数了，从而使这一随机试验的结果与数值发生联系.以上两个例子表明：无论随机试验的结果本身与数量有无联系，我们都能把实验的结果与实数对应起来，即可把实验的结果数量化，这个数随着试验的结果不同而变化，因而，它是样本点的函数，这个函数就是我们要引入的随机变量.1、随机变量的定义定义1设某随机试验的样本空间为，若对中每个样本点都有唯一的实数与之对应，则称为随机变量.由定义可知，随机变量是定义在样本空间上的单值

6、实值函数，通常以或希腊字母，，等来表示，而随机变量的取值一般用小写英文字母等来表示.随机变量与普通实函数这两个概念既有联系又有区别，他们都是从一个集合到另一个集合的映射，它们的区别主要在于：普通实函数无需做试验便可依据自变量的值确定函数值，而随机变量的取值在做实验之前是不确定的，只有在做了试验之后，依据所出现的结果才能确定.2、引入随机变量的意义引入随机变量以后，就可以用随机变量来描述随机事件。【例1】在掷硬币进行打赌时，如果规定出现正面赢1元，出现反面输1元.这个试验中，可定义-34-则和就分别表示了事件{出现正面}和{出现反面}，且有.若试验的

7、结果本身就是用数量描述的，则可定义。【例2】在“掷骰子”这个试验中，用表示{出现点}，且。【例3】在“测试灯泡寿命”这个试验中，如果用表示灯泡的寿命（小时），则是定义在样本空间上的函数，表示{灯泡的寿命为（小时）}；从而就是事件{灯泡寿命不超过t（小时）}的概率.【例4】在某城市中考察人口的年龄结构，年龄在80岁以上的长寿者，年龄介于18岁至35岁之间的年轻人，以及不到12岁的儿童，它们各自的比率如何。从表面上看，这些是孤立事件，但若我们引进一个随机变量：表示随机抽取一个人的年龄；那末，上述几个事件可以分别表示成、及.由此可见，随机事件的概念是被包

8、容在随机变量这个更广的概念之内的。随机变量的引入，使概率论的研究由个别随机事件扩大为随机变量所表征的随机现象的研究.正因为