概率论与数理统计 第二章 随机变量及其分布

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1、第二章随机变量及其分布§2.1随机变量例电话总机某段时间内接到的电话次数，可用一个变量X来描述：X=0，1，2，…随机变量的概念例检测一件产品可能出现的两个结果，也可以用一个变量来描述:例考虑“测试灯泡寿命”这一试验，以X记灯泡的寿命（以小时计）则：X=t，(t≥0)设S是随机试验E的样本空间，若定义则称S上的单值实值函数X()为随机变量随机变量一般用大写英文字母X，Y，Z，或小写希腊字母，，，表示随机变量是上的映射，此映射具有如下特点:定义域S；随机性随机变量X的可能取值不止一个，

2、试验前只能预知它的可能的取值但不能预知取哪个值；概率特性X以一定的概率取某个值或某些值。引入随机变量的意义有了随机变量，随机试验中的各种事件，就可以通过随机变量的关系式表达出来。如：单位时间内某电话交换台收到的呼叫次数用X表示，它是一个随机变量。{收到不少于1次呼叫}{没有收到呼叫}可见，随机事件这个概念实际上是包容在随机变量这个更广的概念内。也可以说，随机事件是从静态的观点来研究随机现象，而随机变量则是一种动态的观点，就象数学分析中常量与变量的区别那样。随机变量分类所有取值可以逐个一一列举全部

3、可能取值不仅无穷多，而且还不能一一列举。例有奖储蓄，20万户为一开奖组，设特等奖20名，奖金4000元；一等奖120名，奖金400元；二等奖1200名，奖金40元；末等奖4万名，奖金4元。考察得奖金额X。§2.2离散型随机变量及其分布律例有奖储蓄，20万户为一开奖组，设特等奖20名，奖金4000元；一等奖120名，奖金400元；二等奖1200名，奖金40元；末等奖4万名，奖金4元。考察得奖金额X。X的可能取值为：Ｘ04404004000p解：4000，400，40，4，0。.0001.0006.

4、7933.2.006若随机变量X的可能取值是有限个或可列个，则称X为离散型随机变量。定义描述X的概率特性常用概率分布或分布律Xp即或概率分布的性质非负性正则性概率分布的特征例1一批产品的次品率为8%，从中抽取1件进行检验，令写出X的分布律.X的分布律为:Xp概率分布图:0.0801xy0.92解：两点分布(0–1分布)只取两个值的概率分布分布律为：X10pkp1-p0

5、件产品中，有3件次品，任取两件，X是“抽得的次品数”，求分布律。X可能取值为0，1，2。例2解：所以，X的分布律为：X012p7/157/151/15注求分布律，首先弄清X的确切含义及其所有可能取值。例3上海的“天天彩”中奖率为p，某人每天买1张，若不中奖第二天继续买1张，直至中奖为止。求该人购买次数X的分布律。X=k表示购买了k张，前k-1张都未中奖，第k张中了奖。几何分布适用于试验首次成功的场合解：123…k-1k×××…×√例4一汽车沿一街道行驶，需要通过三个均设有红绿信号灯的路口，每个信

6、号灯为红或绿与其它信号灯为红或绿相互独立，且红绿两种信号灯显示的时间相等.以X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数，求X的概率分布。Ai={第i个路口遇红灯}，i=1，2，3解:设依题意，X可取值0，1，2，3。P{X=0}=P(A1)=路口3路口2路口1路口3路口2路口1p=1/2，路口3路口2路口1路口3路口2路口1X0123p1/21/41/81/8概率分布：二项分布贝努里概型和二项分布例设生男孩的概率为p，生女孩的概率为q=1-p，令X表示随机抽查出生的4个婴儿中“男孩”的个数。我

7、们来求X的概率分布。X表示随机抽查的4个婴儿中男孩的个数，生男孩的概率为p.X=0X=1X=2X=3X=4设试验E只有两个结果：Ａ和　，记:将E独立地重复n次，则称这一串重复的独立试验为n重贝努利(Bernoulli)试验，简称为贝努利(Bernoulli)试验在n重贝努利试验中，事件A可能发生0,1,2,…n次称X服从参数为p的二项分布(binomial)。记作：当n=1时，P(X=k)=pk(1-p)1-kk=0,1即0-1分布（2）每次试验只考虑两个互逆结果A或，贝努里概型对试验结果没有等

8、可能的要求，但有下述要求：（1）每次试验条件相同；且P(A)=p，；（3）各次试验相互独立。二项分布描述的是n重贝努里试验中出现“成功”次数X的概率分布。二项分布的分布特点：X~B(n,p)当(n+1)p为整数时，二项概率P(X=k)在k=(n+1)p和k=(n+1)p-1处达到最大值；当(n+1)p不为整数时，二项概率P(X=k)在k=[(n+1)p]达到最大值。计算例5已知100个产品中有5个次品，现从中有放回地取3次，每次任取1个，求在所取的3个中恰有2个次品的概率。解:依题意，p=0.0