考研偏导全微分关系特详细讲解

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1、微分偏导之间的关系函数沿偏导方向连续（沿偏导方向趋近）方向导数存在偏导存在全微分函数连续（沿各方向趋于Po）偏导存在且连续·下面举例说明相关关系（对于AB的我们举反例对于AB的证明之）。（1）首先证明可微则存在。即对应上图的全微分偏导存在。证：由可微的定义有△Z=A·△x+B·△y+o()所以：f(x+△x,y+△y)-f(x,y)=A·△x+B·△y+o()令：△y=0再对等式两边取极限有：=同理=B（2）在一点M（xO,yO）可微不能推出偏导连续。对应上图可微偏导连续。例：f(x,y)=0,在点（0,0）可微但是偏导并不连续。由全微分可微的判别式（或称定义）：△Z=A·△x

2、+B·△y+o()求一点的偏导我们用定义（可用偏导数的连续性直接代入该点，但是在此偏导连续性是我们需证明的问题所以在这里我们只能用定义求一点偏导）A==B=△Z=f(△x,△y)-f(0,0)=则所以函数在（0,0）可微。下面证明在（0，0）偏导不连续。首先求由于x,y的轮换性（也就是x与y可交换，地位相同在此不详述，后面空间积分用它时再详述）所以（将x与y位置调换即可）再利用二元函数连续定义（在此证明它的不存在故取特殊路径）取X=0的路径取y=x=不存在。即所以偏导在（0,0）不连续。证毕（3）偏导存在不能直接推出微分存在即偏导存在全微分例（教材71）,f(x,y)=0,在（

3、0，0）偏导存在但不可微全微分定义△Z=A·△x+B·△y+o()△Z=f(△x,△y)-f(0,0)==0·△x+0·△y+两边取极限：证明它的不存在我们取特殊路径：取x=0取y=x由上知不可微。证毕（4）偏导存在且连续可以推导出可微证明见教材（72页）。（证明了解，结果必须会用）（5）全微分可以推出二元函数连续即全微分函数连续证明：直接由定义△Z=A·△x+B·△y+o()所以：f（x+△x,y+△y）-f(x,y)=A·△x+B·△y+o()对上式取极限有：即：所以：证毕（6）函数连续不能推出可微我们不举例了。这个最简单下面重点讨论偏导和方向导数的问题（7）可微分推出方向

4、导数即可微分方向导数存在沿L方向的方向导数定义：全微分定义：△Z=f（x+△x,y+△y）-f(x,y)=A·△x+B·△y+o()由于偏导是直线沿着一个方向起点在（x,y）的射线微分中的△x,△y是沿着任意方向趋近于（0，0）不妨设（取特殊路径沿着L趋近）：而于是微分式变为：△Z=f（x+,y+）-f(x,y)=A·+B·+o()其中=对微分两边取极限：再由可微定义：当（x,y）取()时仍然成立而左边正好是偏导定义。所以有=在全微分中A=B=所以有：=证毕（8）函数在一点偏导存在但方向导数不存在即偏导存在方向导数例，=0，由定义：由于x,y具有轮换性所以方向导数定义：所以不存

5、在（此处也就是说此处L与X,Y轴不重合）证毕（9）函数在一点方向导存在但偏导数不存在即方向导数偏导例方向导数（此处假设沿着方向）偏导不存在证毕总结：虽然考试不直接考结论但是我们可以从上面知道，要断定他们关系时对定义的理解要深刻且会用于判断。下面列举几个数学思维方法：(1)举反例驳倒命题。一般错误命题会缺少一个限制条件。我们可以反其道而行之。例如（9）中证明函数的构造就是用了逆推法。因为偏导中的△x取极限趋近是从正负趋近，而方向导只能从正向趋近于是设想一个带有根号的式子。这样就能本质地区别两类导数。从而证明问题。这个思想在以后级数的选择题中会很常见。大神