多元函数连续、偏导、全微分之间的关系.pdf

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1、垫!QQ：gZScienceandTechnologyInnovationHerald创新教育多元函数连续◆偏导◆全微分之间的关系孙本利(海军工程学院青岛分院山东青岛266041)摘要：本文对多元函数微分学中连续，偏导数及全微分三个概念之问的关系做了较为详细的论述，同时给出相应的反饲加以说明。关健词：多元函数偏导数全截分反倒中图分类号：0172文献标识码：A文章编号：1674—098x(201O)O3(a)-O128—01在学习《高等数学》一元函数微分学在点(0，0)处偏导数存在而函数在该点是一个比P较高阶的无穷小，因此函数在时，函数的连续、可

2、导、可微之间的关系是不可微。点(0，O)处可微。可导必连续、但连续不一定可导，可微的充解：由偏导数定义易得+分必要条件是可导。但在多元函数微分学(0，0)=oM~(o，0)=0。：南co南，煳中函数连续、偏导、全微分之间的关系比较下面证明函数在(O，O)点不可微：+=o复杂，初学者不易掌握，本文对这三者之间而当点P(x，y)沿着y=x趋于0时，一[(0，O)·+(O，0)·]=的关系进一步归纳并给出相应的反例加以说明，供学习《高等数学》者参考。·△limL()=l⋯-+O⋯imO(2n专厶^一1^c。s专厶^)、／()+(Ay)一一不存在，1连

3、续与偏导的关系如果考虑P’(Ax，Ay)沿着直线y=x趋干1．1函数在一点连续而在该点偏导数不存(0，0)，则同理，limL(，)不存在，因此偏导数在Ax·Ay在点(o，0)处不连续例1：f(x，)=II+IYI在点(o，o)处√(△)+(Ay)Ax·Ay连续而函数在该点偏导不存在。3连续与可微的关系P(△)+(Ay)limf(，)=O=厂(0，0)Ax．13．1函数在一点连续而在该点不可微解：由于。，所例题同例1．(△)+(△)2’由该文二中的第2条可知偏导数存在以f(x，)在(O，0)点连续。这表明p0时，是可微的必要条件，例l给出的函数在

4、点-[(0，0)·Ax+(0，0)·Ay](0，0)偏导数不存在，所以函数在该点不可由(o，0)=0，知(。，。)不存并不是一个比较高阶的无穷小，因微。缸-+￡】^此函数在点(0，0)处不可微。3．2函数在一点连续且在该点偏导数存在在；同理(0，0)也不存在。如果再假定函数Z：f(x，)的各偏导而在该点不可微1．2函数在一点偏导数存在而在该点不连数连续，则可保证全微分存在。例题同例3．续(3)如果函数的偏导数在点P(x，y)连3．3函数在一点可微，则函数在该点必连续续，则函数在该点的全微分存在。证明：因为函数在点P(x。，Y。)可微，由证明见同

5、济大学编《高等数学*。全微分定义知觚：{寿，X2+y2~O,(4)函数在一点可微，偏导数存在但偏10，X+Y=0△z—L，(X0，Y0)·△+(0，Y0)·A)，]=D()导数在该点不连续在点(O，O)处偏导数存在而函数在该点例4：‘△z)=o不连续。则y-÷0，因此函数在点解：由偏导数定义可得(0，0)=0及：J(x2+y2)sin寿，，P(x0，Y0)连续。(0，O)=0，【0，x+=0综上所述，多元函数在点e(x，y)可微而当点P(x，y)沿着直线y=kx趋近于(0，在点(0，O)处可微但偏导数在该点不连分，那末函数在点P(x，y)的偏导

6、数必存在。0)时续。即偏导数存在是可微的必要条件但不是充解：由偏导数定义得分条件。而多元函数偏导数在点P(x，y)连limf(x,y)=1im续是函数在该点可微分的充分条件，但不Ox-+O寿^1-：)==是必要条件。但是，多元函数在一点连续在A—+0L1^kxk该点其偏导数不一定存在，也不一定可微，1．，多元函数在一点偏导数存在而在该点不一lim=0，定连续；多元函数在一点可微在该点也不显然它是随着k的不同而改变，所以此A0函数在(0，0)点不连续。一定连续。同理fy(0，0)=0，2偏导与可微的关系Az一[(0，0)‘Az+L(O，0)Ay]

7、：参考文献[1]同济大学数学教研室．高等数学【M】．北(1)函数Z=f(x，)在点P(x，y)可微[()+()】sin1，京：高等教育出版社，1996(4)．分，那末函数z=f(x，Y)在点P(x，y)的偏[2】张尊国．高等数学学习导BI[M】．北京：[()+()]sin1导数必存在。海洋出版社，1993．(2)函数在一点偏导数存在而在该点不可微p觚_f’1128科技创新导报ScienceandTechnologyInnovationHerald