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1、第十四章曲线积分、曲面积分与场论教学目的与要求1掌握两类曲线积分和两类曲面积分的定义及相互联系；2掌握两类曲线积分和两类曲面积分的计算；3掌握Green公式公式和公式，并能应用它们来求第二类线面积分；4理解曲线积分与路径无关的含义；5了解外微分的定义及应用；6了解场论初步的基本知识。教学重点1两类曲线积分和两类曲面积分的计算；2Green公式公式和公式的应用；3曲线积分与路径无关的条件。教学难点1两类曲线积分互化和两类曲面积分互化；2曲线积分与路径无关的条件。28§1第一型曲线积分和第一类面面积分教学目的1掌握第一类曲线积分和第一类曲面积分的定义；2会求曲面的面积。
2、教学过程背景:几何体的质量:已知密度函数,分析线段、平面区域、空间几何体的质量1第一类曲线积分1.1定义(P294----295)1.2性质(P295)1.3计算(P295----296)例1设是半圆周,..例2设是曲线上从点到点的一段.计算第一型曲线积分.空间曲线上的第一型曲线积分:设空间曲线,.函数连续可导,则对上的连续函数,有.例3计算积分,其中是球面被平面截得的圆周.解由对称性知,,=.(注意是大圆)2曲面的面积P298----3043第一型曲面积分3.1定义(P304----305)3.2计算1设有光滑曲面.为上的连续函数,则.28例4计算积分,其中是球面
3、被平面所截的顶部.例5求，其中是球面与平面的交线。解法1解法2求曲线的参数方程。由，消去，得,即令，则于是得到两组参数方程我们可任选一组，例如第一组。显然，被积函数和都具有轮换对称性，则28解法3作坐标旋转。就坐标是，新坐标是，旋转角为，则旋转变换的一般公式为，因为平面的单位法矢为，则它与轴的夹角余弦为。下面分两步进行旋转，先将平面旋转，得新坐标系；再将平面旋转，得新坐标系。即由旋转公式得于是得在这组变换下，曲线：，变为，，故注1三种解法各具特点：解法1技巧性强，直接利用了几何意义，而不必化为定积分。解法2常规的方法，即28写出参数方程套公式计算定积分这里主要难在第
4、一步，写参数方程。通过解法2，给出了一种求参数方程的方法。解法3先通过坐标旋转，将问题转化为另一个与之等价的问题，再按常规的方法计算。坐标系下的线积分坐标系下的线积分写出参数方程套公式计算定积分在新的坐标下，曲线有简单的参数方程。这个解法表明，可以适当地转化问题，例如作坐标旋转，从而获得简单的参数方程。作业：P309—3101（1）（3）（5）（7）、3（2）（4）（6）、4（1）（4）（7）、9、11§2第二型曲线积分和第二型曲面积分教学目的281掌握第二型曲线积分和第二型曲面积分的定义和计算2教学过程1第二类曲线积分（1）力场沿平面曲线从点A到点B所作的功:先用
5、微元法,再用定义积分的方法讨论这一问题,得,即.（2）稳流场通过曲线(从一侧到另一侧)的流量:解释稳流场.(以磁场为例).设有流速场.求在单位时间内通过曲线AB从左侧到右侧的流量E.设曲线AB上点处的切向量B为,(是切向量方向与X轴正向的夹角.切向量方向按如下方法确定:法线方向是指从曲线的哪一侧到哪一侧,在我们现在的问A题中是指从左侧到右侧的方向.切向量方向与法线方向按右手法则确定,即以右手拇指所指为法线方向,则食指所指为切线方向.).在弧段上的流量.,因此,.由,得.于是通过曲线AB从左侧到右侧的总流量E为.1.1第二型曲线积分的定义闭路积分的记法.按这一定义,有
6、力场沿平面曲线从点A到点B所作的功为.流速场在单位时间内通过曲线AB从左侧到28右侧的总流量E为.第二型曲线积分的鲜明特征是曲线的方向性.对二型曲线积分有,因此,定积分是第二型曲线积分中当曲线为X轴上的线段时的特例.可类似地考虑空间力场沿空间曲线AB所作的功.导出空间曲线上的第二型曲线积分.1.2第二型曲线积分的性质第二型曲线积分可概括地理解为向量值函数的积累问题.与我们以前讨论过的积分相比,除多了一层方向性的考虑外,其余与以前的积累问题是一样的,还是用Riemma的思想建立的积分.因此,第二型曲线积分具有(R)积分的共性,如线性、关于函数或积分曲线的可加性.但第二
7、型曲线积分一般不具有关于函数的单调性,这是由于一方面向量值函数不能比较大小,另一方面向量值函数在小弧段上的积分还与弧段方向与向量方向之间的夹角有关.1.3第二型曲线积分的计算曲线的自然方向:设曲线L由参数式给出.称参数增大时曲线相应的方向为自然方向.设L为光滑或按段光滑曲线,L:.A,B;函数和在L上连续,则沿L的自然方向(即从点A到点B的方向)有.(证略)例1计算积分,L的两个端点为A(1,1),B(2,3).积分从点A到点B或闭合,路径为ⅰ>直线段ABⅱ>抛物线;ⅲ>A(1,1)D(2,1)B(2,3)A(1,1),折线闭合路径.例2计算积分,这里L:ⅰ>沿
