微分中值定理的证明及应用(1)

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1、微分中值定理的证明及应用摘要　在数学分析中,三个微分中值定理极为重要.本文从罗尔定理出发,用构造辅助函数法和行列式法,不仅证明了拉格朗日中值定理和柯西中值定理,并对其进行了应用.关键词　中值定理;证明;构造函数;行列式;应用TheProofandApplicationofTheMid-valueTheoremsWangXXInstructor:XXXAbstract:Inthemathematicalanalysis,threedifferentialmid-valuetheoremisextremelyimportant.Thispaper,s

2、tartingfromRolletheoreminconstructauxiliaryfunctionmethodanddeterminantmethod,notonlyprovedLagrange'smeanvaluetheoremandCauchymid-valuetheoremareobtained,andanalysestheapplication.Keywords:Mean-valuetheorem;Proof;Theconstructor;Thedeterminant;Application1引言微分中值定理是微分学的基本定理,在数学

3、分析中有重要的地位,在微积分教学与研究中具有承前启后的作用,是研究函数在某个区间内的整体性质的有力工具.然而,在证明了罗尔定理之后,如何在去证明拉格朗日中值定理和柯西中值定理,是一个比较困难的问题,本文通过构造辅助函数法和行列式法,在罗尔定理的基础上,对拉格朗日中值定理和柯西中值定理进行证明,其证明方法简捷明了.2引理引理1[1](罗尔(Rolle)中值定理)若函数满足如下条件:(ⅰ)在闭区间上连续;(ⅱ)在闭区间内可导;(ⅲ),则在内至少存在一点,使得.罗尔定理的几何意义是说:在每一点都可导的一段连续曲线上,如果曲线的两端点高度相等,则至少存在

4、一条水平切线.证明因为在上连续,所以有最大值和最小值,分别用与表示,现分两种情况来讨论:(1)若=,则在上必为常数,从而结论显然成立.(2)若<,则因,使得最大值与最小值至少有一个在内某点处取得,从而是的极值点.由条件(ⅱ),在点处可导,故由费马定理推知.引理2[2][4]设函数,,,,,,,,在内可导,设,则.3定理的证明定理1[1](拉格朗日(Lagrange)中值定理)若函数满足如下条件:(ⅰ)在闭区间上连续;(ⅱ)在开区间内可导,则在内至少存在一点,使得.拉格朗日中值定理的几何意义是说:满足定理条件的函数在内的曲线上至少存在一点,曲线在该

5、点的切线平行曲线两端点的连线.证法一[4]将变形得.构造辅助函数,其中任意常数.显然,在闭区间上连续,在开区间上可导.而,,将与作差化简得.于是满足罗尔中值定理的条件,则至少存在一点,使得故.证法二[2][3]行列式法:构造辅助函数,则由此可得在闭区间上连续.由此可得在开区间内也可导.又由,.可得.综上所述,可知满足罗尔中值定理的条件,则至少存在一点.使得.故.定理2[1]（柯西（Cauchy）中值定理）设函数与满足如下条件:(ⅰ)在闭区间连续;(ⅱ)在开区间可导;(ⅲ)与在内不同时为零;(ⅳ),则在内至少存在一点,使得.柯西中值定理的几何意义是

6、说:满足定理条件的由与所确定的曲线上至少有一点,曲线的切线平行两端点的连线.证法一[4]将变形得.构造辅助函数其中为任意常.显然在闭区间上连续,在开区间内可导,且当与作差时可得.故满足罗尔定理的条件,则存在一点,使得.故.证法二[2][3]构造辅助函数.则.由此可得在闭区间上连续..由此可得在开区间内可导.由,.即.综上所述:满足罗尔定理的条件,则至少存在一点,使得.故.4定理的应用考虑中值问题:即证明存在某个中值,使得某个等式或不等式成立,其中由给定函数及其导数构成.4.1罗尔(Rolle)中值定理的应用[5]罗尔定理是解决中值问题的主要工具,

7、应用Rolle定理的具体步骤可归纳如下:(ⅰ)将要证中值公式写成适应的形式:.(ⅱ)构作辅助函数,使得等式恰相当于.通常,将看作的函数求其原函数,就得出所需的,当这样行不通时,可试着用适当的因子乘.(ⅲ)验证或(,这通常是容易的,且一般在构作时已考虑到了.例1设则存在,使得证明变换待证中值公式为:.则.设,则.又,,得.从而满足罗尔定理的三个条件,则.故原式成立.4.2拉格朗日(Lagrange)中值定理的应用[6]拉格朗日定理比罗尔定理的应用更广泛,因为它对函数的要求更低.应用拉格朗日中值定理与应用罗尔定理证明命题的方法与技巧基本相同,只是变化

8、更加丰富.例2设在上连续,在内可导;且.证明:,使得.证明变换待证公式为:.设,则可对应用拉格朗日中值定理,则存在,使得.又,,.则.设