一道学考题的多种解法

《一道学考题的多种解法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。

1、一道学考题的多种解法沈建刚（浙江省萧山中学浙江杭州311201）中文摘要：浙江省2016年4月的学考卷18题，函数式中含分式、绝对值，并带两个参数，同时又复合了“恒成立”与“存在性成立”等不等式问题，是一个考查点丰富，逻辑性要求很高的难题，在解答过程中，笔者发现，该题解法多样，解法灵活、多变，值得老师与学生认真研究．关键词：学考，恒成立，复合最值作者简介：沈建刚（1970-），男，中学高级教师．研究方向：数学教育浙江省2016年4月的学考卷18题如下：设函数.若对任意的正实数和实数，总存在，使得≥，则实数的取值

2、范围是（）A.B.C.D.因为该题中函数式中含分式、绝对值，并带两个参数，同时又复合了“恒成立”与“存在性成立”等不等式问题，是一个考查点丰富，逻辑性要求很高的难题，它将中学数学中的函数与不等式题提到了一定的高度，在解答过程中，笔者发现，该题解法多样，各种解法又都围绕高中数学的难点知识，并且处理方式灵活、多变，这样的题是值得老师与学生认真研究．分析1：这是一个“恒成立问题”与“存在性成立问题”的复合题，分两层处理，先处理内层：“存在，使得≥”，即，再处理外层：“对任意的正实数和实数，使”，这是关于两个参数的恒成

3、立问题，利用逐一解决的办法，先恒成立，再恒成立，若设，即先求关于的最小值，进一步求关于的最小值，则答案是解法1、设，因，则在上单调递减，所以，即，则，设，下求关于的最小值，因为，说明这两个数的平均数一定大于等于，则这两个数中大的数，也即，因对于恒成立，所以．解法2、由解法1，“设，下求关于的最小值”，将中的看成自变量，可以画图解决，如图1所示，在画出的两条折线中，取大的部分即上面部分（粗线表示的折线），最大值的最小值容易求得为，下如解法1．图1解法3、由解法1，，将它画到数轴上，如图2所示，表示的是一个区间，区

4、间长度为，当变化时，区间在数值上左右移动，但长度不变，因，也即指的是区间两个端点与数轴中原点的距离中大的一个，由题意，大的要尽量小，显然，当区间以原点为中点时，大的达到最小，为区间长度的一半，下如解法1．图2分析2：上述三个解法，对绝对值的处理方法是一致的，因，的最大值应该是取最大或最小时取到，但又可作下面的处理：，即，或，则可形成下列两个新的解法解法4、因为，即，或，则存在，等价于，或，即，或，变形为，或，有题意，上述对于任意的实数成立，如图3，则必需让两个解集的并集为，则，则，因，所以．图3解法5、由解法4

5、，，或，可化成，，或，若将理解为横坐标，理解为纵坐标，画出上述不等式包含的区域记为，将条件表示的区域记为（实际即轴的右边部分），有题意必须（小范围推出大范围），下画图当时，，则区域表示如图4，不满足要求当时，如图5，为了使区域包含区域，必需，即图5图4分析3：若将函数看成函数与函数的“差函数”的绝对值，因分解的函数图形容易上手，所以本题也可用数形结合的办法解．解法6、因为函数可看成函数与函数的“差函数”的绝对值，画图如下，分析图6可知，在范围内，两个函数值差的绝对值的最大值一定在两个端点取到，也即，现要让中长的

6、尽量短，则可先调整让直线过中点（如图7），使，再让直线水平（如图8），易知此时中长的达到最短为，所以图7图6图8回顾这些解法，均围绕问题的难点，作了灵活、多变的处理：（1）绝对值的处理，如解法1至解法3，避开考察绝对值函数复杂的翻折，利用绝对值函数的最大值取决于绝对值里面函数的最大值（或最小值）的特征，转化为考察里面函数的最值，解法4与解法5，利用“”与“或”的等价性，解法6利用表示“两个函数值的距离”的几何特征；（2）多层分类讨论的处理，如解法1中，得到绝对值里面函数的最大值与最小值，接下来要解决的问题是两个

7、取绝对值后谁大？按部就班的讨论会非常复杂，而且找到了最大值的又进一步要求最小值，解法1，2，3的处理办法是“两个事情一起做了”，就如电脑打“词语”，有时候直接打“词语”比逐字打要方便，三种解法展示了复合最值“最大求最小”的处理方法，实际上解法1，若，则可更直接的得到答案，它将“”恒成立“一起做了”，这或许是简化分类讨论题的一个办法．（3）存在性成立与恒成立的处理，除了转化为最值处理外，解法4中，“对于任意的恒有，或”转化为不等式“”与“”的解集的并集为，将逻辑关系转化为集合包含关系是一种新颖的处理方式，解法5用

8、的也是这种方法．在一个问题的解决中，调用了众多的知识，采用了各种办法，并且这些办法又差异很大，是不多见的，笔者以为这是一个“好”题，值得大家研究，此文只是抛砖引玉，希望得到更多读者的关注，会有更多奇思妙想，期待出现“一览众山小”的解法与观点．