三道数学中考题的多种解法.doc

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1、三道数学中考题的多种解法例1（2009陕西省中考数学副题第10题）如图，四边形ABCD和四边形BEFD都是矩形，且点C恰好在EF上。若AB=1，AD=2，则SΔBCE为（）A、1B、C、D、解法一：过点C作CH⊥BD于点H，由题意得BC=2，CD=1，∴BD==∴CH=∴CF=∴S矩形BEFD=×=2SΔBCD=1SΔCDF=∴SΔBEC=S矩形BEFD-SΔBCD-SΔCDF=2-1-=解法二：由题意得BC=2，CD=1，∴BD==∵BD∥EF∴∠DBC=∠BCE∵∠BCD=∠BEC∴ΔBCD∽ΔCEB∴即∴BE=EC=∴SΔBEC=××=解法三：可证ΔBEC∽ΔCFD∴SΔ

2、BEC:SΔCFD=4：1∴由解法一可知5SΔCFD=SΔBCD=1∴SΔCFD=∴SΔBEC=例2(2008年陕西中考副题23题)、如图，AB是⊙O的直径E是AB上一点，且AE=3BE=3，过点E作AB的垂线交⊙O于C、D两点，连接AC、BC，过点A作AF⊥AC交CD的延长线于点F。（1）求证：∠CAB=∠BCE（2）求DF的长思路：第（1）问较为简单图1第（2）问有难度解法一：如图1，由已知可得AE=3，BE=1，CE=DE易证ΔACE∽ΔCBE∴即CE=可证ΔCEB∽ΔFEA∴∴EF=3∴DF=2解法二：如图1，由已知可得AE=3，BE=1，CE=DECD⊥AB易证ΔAC

3、E∽ΔCBE∴即CE==DE在RtΔACE中，tan∠CAE=,可知∠CAE=30º∵sin∠CAE==∴AC=2设DF=x,则CF=x+2,在RtΔACF中=-在RtΔAEF中，=+∴-=+∴x=2解法三：如图1，由解法1得∠CAE=30º，CE=AC=2∴∠ACE=60º∵CA⊥AF∴∠CAF=90º∴∠AFC=30º∴CF=4图2∴DF=CF-CE-DE=2解法四：如图2，连接OC,由已知得AE=3，BE=1，CD⊥AB∴OC=2OE=1∴CE==DE可证ΔCEB∽ΔFEA∴即∴EF=3∴DF=2例3（2013年兰州市中考数学题）如图，直线MN交⊙O于A、B两点，AC是直

4、径，AD平分∠CAM交⊙O于D，过D作DE⊥MN于E（1）求证：DE是⊙O的切线（2）若DE=6cm,AE=3cm,求⊙O的半径第（1）问较为简单第（2）的解法：解法一：如右图1，连接CD∵AC是⊙O的直径∴∠ADC=90º在RtΔABE中，AD=图1可证ΔAED∽ΔADC,得即∴AC=15∴⊙O的半径r=7.5（间接解法）解法二：如右图2，过点0作0G⊥AD于点G由解法一得AD=3，有垂径定理可知AG=图2可证ΔOGA∽ΔDEA∴即∴OA=7.5（梁祺祺的解法）解法三：如右图3，连接OD,过点0作0H⊥AB于点H可证四边形ODEH是矩形,DE=OHOD=EH=6设⊙O的半径为

5、r，则AG=3-r,在RtΔAOH中，即图3解得r=7.5（单居菲的解法）（后两种解法属于直接接法）