高三数学复习 专题6 函数的奇偶性与周期性学案 理 苏科版

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1、学案6　函数的奇偶性与周期性【导学引领】（一）考点梳理1．奇、偶函数的概念一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，如果对于任意的x∈A，都有，那么称函数y＝f(x)是偶函数．如果对于任意的x∈A都有，那么称函数y＝f(x)是奇函数．奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称．2．函数奇偶性的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反．(2)在公共定义域内①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数；②两个偶函数的和、积都是偶函数；③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数．(3)若

2、f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)＝f(

3、x

4、)．(4)若奇函数f(x)定义域中含有0，则必有f(0)＝0.f(0)＝0是f(x)为奇函数的既不充分也不必要条件．(5)复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”．(6)既奇又偶的函数有无穷多个(如f(x)＝0，定义域是关于原点对称的任意一个区间)．3．周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最

5、小正数就叫做f(x)的最小正周期．【自学检测】1．设f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，则f(－1)的值是________．2．已知周期函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)的最小正周期为3，f(1)＜2，f(2)＝m，则m的取值范围为________．3．设f(x)是定义在(－1,1)上的偶函数，在(0,1)上递增，若f(a－2)－f(4－a2)＜0，则a的取值范围为________．4．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是________．5．已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞

6、)上单调递增，则满足f(2x－1)＜f的x的取值范围是________．【合作释疑】函数奇偶性及其应用【训练1】设函数f(x)＝x(x∈R)是偶函数，则实数a的值为________．【训练2】已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ax－a－x＋2(a>0，且a≠1)．若g(2)＝a，则f(2)＝________.【训练3】已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2＋2x，若f(a2－2)＋f(a)<0，则实数a的取值范围是________．【训练4】已知函数f(x)＝为奇函数，则a＋b＝________.函数奇偶性与单调性

7、的交汇问题【训练1】(1)已知奇函数f(x)的定义域为[－2,2]，且在区间[－2，0]内递减，则满足f(1－m)＋f(1－m2)＜0的实数m的取值范围是________；【训练2】设f(x)＝x3＋x，x∈R，当0≤θ≤时，f(msinθ)＋f(1－m)>0恒成立，则实数m的取值范围是________．【训练3】设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f(x＋1)＝f(x－1)，已知当x∈[0,1]时，f(x)＝1－x，则①2是函数f(x)的周期；②函数f(x)在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数；③函数f(x)的最大值是1，最小值是0；④当x

8、∈[3,4]时，f(x)＝x－3.其中所有正确命题的序号是________．函数性质的综合应用【训练1】定义在R上的单调函数y＝f(x)满足f(2)＝3，且对任意x，y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．(1)试求f(0)的值并证明函数y＝f(x)为奇函数；(2)若f(m·3x)＋f(3x－9x)<3对任意x∈R恒成立，求实数m的取值范围．【训练2】设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式；(3)计算f(0)＋f

9、(1)＋f(2)＋…＋f(2013)．【当堂达标1．若函数f(x)＝x2－

10、x＋a

11、为偶函数，则实数a＝________.2．已知y＝f(x)＋x2是奇函数，且f(1)＝1.若g(x)＝f(x)＋2，则g(－1)＝________.3．设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝2x(1－x)，则f＝________.4．设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f(x)＝其中a，b∈R.若f＝f，则a＋3b的值为________．5．设函数D(x)＝则下列结论：①D(x)的值域为{0,1}；②