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时间:2018-12-25
《高考数学一轮复习 第五章 数列 5.4 数列求和考向归纳》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、数列求和考向1分组转化法求和1.已知数列{an}的前n项是3+2-1,6+4-1,9+8-1,12+16-1,…,3n+2n-1,则其前n项和Sn=________.【解析】 由题意知an=3n+2n-1,∴Sn=a1+a2+…+an=3×1+21-1+3×2+22-1+…+3n+2n-1=3×(1+2+3+…+n)+21+22+…+2n-n=3×+-n=+2n+1-2.【答案】 (3n2+n)+2n+1-22.(2015·福建高考)等差数列{an}中,a2=4,a4+a7=15.(1)求数列{an}的通项公式;(
2、2)设bn=2an-2+n,求b1+b2+b3+…+b10的值.【解】 (1)设等差数列{an}的公差为d,由已知得解得所以an=a1+(n-1)d=n+2.(2)由(1)可得bn=2n+n,所以b1+b2+b3+…+b10=(2+1)+(22+2)+(23+3)+…+(210+10)=(2+22+23+…+210)+(1+2+3+…+10)=+=(211-2)+55=211+53=2101.分组转化法求和的常见类型1.若an=bn±cn,且{bn},{cn}为等差或等比数列,可采用分组求和法求{an}的前n项和.
3、2.通项公式为an=的数列,其中数列{bn},{cn}是等比数列或等差数列,可采用分组求和法求和.提醒:某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差,从而求得原数列的和,注意在含有字母的数列中对字母的讨论.考向2裂项相消法求和(1)(2015·江苏高考)设数列满足a1=1,且an+1-an=n+1(n∈N*),则数列前10项的和为______.(2)(2015·全国卷Ⅰ)Sn为数列{an}的前n项和.已知an>0,a+2an=4Sn+3.①求{an}的通项公式;②设bn=,求数列{bn}的前n项和.【解
4、析】 (1)由题意有a2-a1=2,a3-a2=3,…,an-an-1=n(n≥2).以上各式相加,得an-a1=2+3+…+n==.又∵a1=1,∴an=(n≥2).∵当n=1时也满足此式,∴an=(n∈N*).∴==2.∴S10=2×=2×=.【答案】 (2)①由a+2an=4Sn+3,(*)可知a+2an+1=4Sn+1+3.(**)(**)-(*),得a-a+2(an+1-an)=4an+1,即2(an+1+an)=a-a=(an+1+an)(an+1-an).由an>0,得an+1-an=2.又a+2a1
5、=4a1+3,解得a1=-1(舍去)或a1=3.所以{an}是首项为3,公差为2的等差数列,通项公式为an=2n+1.②由an=2n+1可知bn===.设数列{bn}的前n项和为Tn,则Tn=b1+b2+…+bn=++…+=.常见的裂项方法(其中n为正整数)数 列裂项方法(k为非零常数)===-=(-)(a>0,a≠1)loga=loga(n+1)-logan[变式训练]1.若已知数列的前四项是,,,,则数列的前n项和为________.【解析】 由前四项知数列{an}的通项公式为an=,由=知,Sn=a1+a2+
6、a3+…+an-1+an===-.【答案】 -2.(2014·大纲全国卷)等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=10,a2为整数,且Sn≤S4.(1)求{an}的通项公式;(2)设bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.【解】 (1)由a1=10,a2为整数,知等差数列{an}的公差d为整数.又Sn≤S4,故a4≥0,a5≤0,于是10+3d≥0,10+4d≤0.解得-≤d≤-.因此d=-3.数列{an}的通项公式为an=13-3n.(2)bn==.于是Tn=b1+b2+…+bn=++…+-==.考向3错位相减
7、法求和1.(2015·山东高考)设数列{an}的前n项和为Sn.已知2Sn=3n+3.(1)求{an}的通项公式;(2)若数列{bn}满足anbn=an,求{bn}的前n项和Tn.【解】 (1)因为2Sn=3n+3,所以2a1=3+3,故a1=3.当n≥2时,2Sn-1=3n-1+3,此时2an=2Sn-2Sn-1=3n-3n-1=2×3n-1,即an=3n-1,所以an=(2)因为anbn=log3an,所以b1=,当n≥2时,bn=31-nlog33n-1=(n-1)·31-n.所以T1=b1=;当n≥2时,T
8、n=b1+b2+b3+…+bn=+[1×3-1+2×3-2+…+(n-1)×31-n],所以3Tn=1+[1×30+2×3-1+…+(n-1)×32-n],两式相减,得2Tn=+(30+3-1+3-2+…+32-n)-(n-1)×31-n=+-(n-1)×31-n=-,所以Tn=-.经检验,n=1时也适合.综上可得Tn=-.1.要善于识别题目类型,特别是等比
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