高考数学一轮复习 第五章 数列 5.5 数列综合考向归纳

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1、数列综合考向1等差数列与等比数列的综合应用1．已知{an}为等差数列且公差d≠0，其首项a1＝20，且a3，a7，a9成等比数列，Sn为{an}的前n项和，n∈N*，则S10的值为(　　)A．－110B．－90C．90D．110【解析】　由a3，a7，a9成等比数列，则a3a9＝(a7)2，即(a1＋2d)(a1＋8d)＝(a1＋6d)2，化简可得2a1d＋20d2＝0，由a1＝20，d≠0，解得d＝－2.则S10＝10a1＋×(－2)＝110.【答案】　D2．设数列{an}是以3为首项，1为公差的等差数列，{bn}是以1为首项，2

2、为公比的等比数列，则ba1＋ba2＋ba3＋ba4＝(　　)A．15B．60C．63D．72【解析】　数列{an}是以3为首项，1为公差的等差数列，则an＝3＋(n－1)×1＝n＋2，{bn}是以1为首项，2为公比的等比数列，则bn＝2n－1，则ba1＋ba2＋ba3＋ba4＝b3＋b4＋b5＋b6＝22＋23＋24＋25＝60.【答案】　B3．已知{an}是等差数列，其前n项和为Sn，{bn}是等比数列(bn＞0)，且a1＝b1＝2，a3＋b3＝16，S4＋b3＝34.(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；(2)记Tn为数列{

3、anbn}的前n项和，求Tn.【解】　(1)设数列{an}的公差为d，数列{bn}的公比为q，由已知q＞0，∵a1＝b1＝2，a3＋b3＝16，S4＋b3＝34.∴⇒∴an＝a1＋(n－1)d＝2＋3(n－1)＝3n－1，bn＝b1qn－1＝2n.(2)Tn＝2×2＋5×22＋…＋(3n－1)×2n，2Tn＝2×22＋5×23＋…＋(3n－1)×2n＋1，两式相减得－Tn＝4＋3×22＋…＋3×2n－(3n－1)×2n＋1＝4＋－(3n－1)×2n＋1＝－8－(3n－4)2n＋1.∴Tn＝(3n－4)2n＋1＋8.等差数列、等比数列

4、综合问题的解题策略1．分析已知条件和求解目标，确定为最终解决问题需要首先求解的中间问题，如为求和需要先求出通项、为先出通项需要先求出首项和公差(公比)等，确定解题的顺序．2．在等差数列与等比数列综合问题中，如果等比数列的公比不能确定，则要看其是否有等于1的可能，在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等，这些细节对解题的影响也是巨大的．考向2数列的实际应用1.某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产．该企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%.预计以后每年年增长率与第一年的相同．公司要

5、求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元．(1)用d表示a1，a2，并写出an＋1与an的关系式；(2)若公司希望经过m(m≥3)年使企业的剩余资金为4000万元，试确定企业每年上缴资金d的值(用m表示)．【解】　(1)由题意得：a1＝2000(1＋50%)－d＝3000－d，a2＝a1(1＋50%)－d＝a1－d＝4500－d，…an＋1＝an(1＋50%)－d＝an－d.(2)由(1)得an＝an－1－d＝－d＝2an－2－d－d＝…＝n－1a1－

6、d整理得：an＝n－1(3000－d)－2d＝n－1(3000－3d)＋2d.由题意，am＝4000，即m－1(3000－3d)＋2d＝4000.解得d＝＝.故该企业每年上缴资金d的值为时，经过m(m≥3)年企业的剩余资金为4000万元．解答数列实际应用问题的步骤1．确定模型类型：理解题意，看是哪类数列模型，一般有等差数列模型、等比数列模型、简单的递推数列模型，基本特征见下表：数列模型基本特征等差数列均匀增加或者减少等比数列指数增长，常见的是增产率问题、存款复利问题简单递推数列指数增长的同时又均匀减少．如年收入增长率为20%，每年年

7、底要拿出a(常数)作为下年度的开销，即数列{an}满足an＋1＝1.2an－a2.准确求解模型：解模就是根据数列的知识，求数列的通项、数列的和、解方程(组)或者不等式(组)等，在解模时要注意运算准确．3．给出问题的回答：实际应用问题最后要把求解的数学结果化为对实际问题的答案，在解题中不要忽视了这一点．[变式训练]1.现有一根n节的竹竿，自上而下每节的长度依次构成等差数列，最上面一节长为10cm，最下面的三节长度之和为114cm，第6节的长度是首节与末节长度的等比中项，则n＝________.【解析】　设对应的数列为{an}，公差为d

8、(d＞0)．由题意知a1＝10，an＋an－1＋an－2＝114，a＝a1an，由an＋an－1＋an－2＝114，得3an－1＝114，解得an－1＝38，∴(a1＋5d)2＝a1(an－1＋d)，即(10＋5d)2＝10(38＋d