高中数学 第三章 基本初等函数（ⅰ）3.3 幂函数课堂探究 新人教b版必修1

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1、3.3幂函数课堂探究探究一幂函数的概念1．幂函数的判断方法(1)幂函数同指数函数、对数函数一样，也是基本初等函数，同样也是一种“形式定义”的函数，也就是说必须完全具备形如y＝xα(α∈R)的函数才是幂函数．(2)如果函数以根式的形式给出，则要注意对根式进行化简整理，再对照幂函数的定义进行判断．2．待定系数法求幂函数解析式的方法若已知待求函数是幂函数，则可根据待定系数法，设函数为f(x)＝xα，根据条件求出α.【典型例题1】(1)已知点M在幂函数f(x)的图象上，则f(x)的解析式为(　　)A．f(x)＝x2B．f(x)

2、＝x－2C．f(x)＝D．f(x)＝(2)下列函数中是幂函数的为__________．①y＝；②y＝2x2；③y＝；④y＝x2＋x；⑤y＝－x3.解析：(1)设幂函数的解析式为y＝xα，则3＝，∴α＝－2.∴y＝x－2.(2)①③的底数是变量，指数是常数，且系数为1，因此①③是幂函数；②中x2的系数为2，因此不是幂函数；④是由幂函数复合而成的函数，因此不是幂函数；⑤不符合幂函数中xα前的系数为1，因此不是幂函数．答案：(1)B　(2)①③探究二比较大小比较幂形式的两个数大小的常用方法：1．若能化为同指数，则用幂函数的单

3、调性．2．若能化为同底数，则用指数函数的单调性．3．若既不能化为同指数，也不能化为同底数，则需寻找一个恰当的数作为中间值来比较大小．【典型例题2】比较下列各组数的大小：(1)，..(2)(－1.2)3，(－1.25)3.(3)5.25－1,5.26－1,5.26－2.(4)0.53,30.5，log30.5.思路分析：(1)借助函数y＝；(2)借助函数y＝x3；(3)借助函数y＝5.26x和y＝x－1；(4)利用中间值法．解：(1)∵y＝在[0，＋∞)上是增函数，1.5<1.7，∴<.(2)∵y＝x3在R上是增函数，－

4、1.2>－1.25，∴(－1.2)3>(－1.25)3.(3)∵y＝x－1在(0，＋∞)上是减函数，5.25<5.26，∴5.25－1>5.26－1.∵y＝5.26x在R上是增函数，－1>－2.∴5.26－1>5.26－2.综上，5.25－1>5.26－1>5.26－2.(4)∵0<0.53<1,30.5>1，log30.5<0，∴log30.5<0.53<30.5.探究三幂函数的图象画图象时，一般先画第一象限内的图象，再结合函数性质补全图象，幂函数的图象与幂指数间有如下规律：1．指数大于1，在第一象限的图象，类似于y

5、＝x2的图象；2．指数等于1，在第一象限为上升的射线；3．指数大于0小于1，在第一象限的图象，类似于y＝的图象；4．指数等于0，在第一象限为水平的射线；5．指数小于0，在第一象限类似于y＝x－1的图象．【典型例题3】如图是幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象，则(　　)A．n<0，m>1B．n<0n>1D．n>m>1解析：由幂函数的图象及性质可知，在第一象限内，若幂指数大于零，则函数为增函数；若幂指数小于零，则函数为减函数，故m>0，n<0.又由y＝xm的图象与直线y＝x比较，得0

6、B探究四幂函数性质的综合应用对于与幂函数有关的综合性问题，一般涉及奇偶性与单调性问题，解决此类问题可分两步走：一是利用单调性来弄清指数的正负，二是利用奇偶性来确定幂函数的图象．【典型例题4】已知幂函数f(x)＝xm2－m－2(m∈Z)是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，求函数f(x)的解析式．思路分析：先利用f(x)在(0，＋∞)上为减函数求出m的范围，再用代入检验的方法来验证是否为偶函数．解：∵f(x)＝xm2－m－2(m∈Z)是偶函数，∴m2－m－2为偶数．又∵f(x)＝xm2－m－2(m∈Z)在(0，＋∞)上是

7、减函数，∴m2－m－2<0，即－13－2a.∴a>，即a的取值范围是.错因分析：误认为y＝是R上的减函数，实质是y

8、＝在(－∞，0)和(0，＋∞)内均是减函数，而没有整体定义域上为减函数的性质．正解：对于<，可分三种情况讨论．①a＋1和3－2a都在(－∞，0)内，此时方程组无解；②a＋1和3－2a都在(0，＋∞)内，解得