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1、高中数学专题训练(教师版)—向量的概念一、选择题1.设a是任一向量,e是单位向量,且a∥e,则下列表示形式中正确的是( )A.e= B.a=
2、a
3、eC.a=-
4、a
5、eD.a=±
6、a
7、e答案 D解析 对于A,当a=0时,没有意义,错误对于B、C、D当a=0时,选项B、C、D都对;当a≠0时,由a∥e可知,a与e同反或反向,选D.2.a、b、a+b为非零向量,且a+b平分a与b的夹角,则( )A.a=bB.a=-bC.
8、a
9、=
10、b
11、D.以上都不对答案 C3.如图所示,D是△ABC的边AB上的中点,则向量等于( )A.-+ B.--C.- D.+答案 A解析 ∵D是AB
12、的中点,∴=.∴=+=-+4.(2011·山东师大附中)设a、b为不共线的非零向量,=2a+3b,=-8a-2b,=-6a-4b,那么( )A.与同向,且
13、
14、>
15、
16、B.与同向,且
17、
18、>
19、
20、C.与反向,且
21、
22、>
23、
24、D.∥答案 A解析 =++=2a+3b+(-8a-2b)+(-6a-4b)=-12a-3b,=-8a-2b,∴=,∴与同向,且
25、
26、=
27、
28、.∴
29、
30、>
31、
32、.故选A.5.已知P,A,B,C是平面内四点,且++=,那么一定有( )A.=2B.=2C.=2D.=2答案 D解析 由题意得++=-,即=-2=2,选D.6.(2010·湖北卷,理)已知ΔABC和点M满足M+M+M=0.若存在实数
33、m使得A+A=m成立,则m=( )A.2B.3C.4D.5答案 B解析 由M+M+M=0得点M是ΔABC的重心,可知A=(A+A),A+A=3A,则m=3,选B.7.(2010·四川卷)设点M是线段BC的中点,点A在直线BC外,2=16,
34、A+A
35、=
36、A-A
37、,则
38、A
39、=( )A.8B.4C.2D.1答案 C解析 由
40、A+A
41、=
42、A-A
43、可知,A⊥A,则AM为RtΔABC斜边BC上的中线,因此
44、A
45、=
46、B
47、=2,选C.二、填空题8.设e是与向量共线的单位向量,=3e,又向量=-5e,若=λ,则λ=________.答案 -解析 =+=3e-5e=-2e由=λ·得3e=λ·(-2)·e∴λ
48、=-9.已知O为△ABC内一点,且++2=0,则△AOC与△ABC的面积之比是________.答案 12解析 如图,取AC中点D.+=2∴=∴O为BD中点,∴面积比为高之比.10.(2011·苏北四市调研)已知a,b是不共线的向量,若=λ1a+b,=a+λ2b(λ1,λ2∈R),则A、B、C三点共线的充要条件为________.答案 λ1λ2-1=0解析 A、B、C三点共线⇔∥⇔λ1λ2-1×1=0⇔λ1λ2=1,故选C11.已知
49、a
50、=1,
51、b
52、=,且a-b与a垂直,则a与b的夹角为________.答案 45°解析 如右图所示,作向量=a,=b,则=a-b.∵OA=1,OB=,OA⊥
53、BA,∴cos∠AOB=,∴∠AOB=45°,故a与b的夹角为45°.12.已知△ABC中,点D在BC边上,且=2,=r+s,则r+s的值是________.答案 0解析 =-,=-.∴=--=--.∴=-,∴=-.又=r+s,∴r=,s=-,∴r+s=0.13.(09·安徽)在平行四边形ABCD中,E和F分别是边CD和BC的中点.若=λ+μ,其中λ、μ∈R,则λ+μ=________.答案 解析 =+,=+,=+,于是得,所以λ+μ=三、解答题14.已知:任意四边形ABCD中,E、F分别是AD、BC的中点,求证:=(+).证明 如图所示,∵E、F是AD与BC的中点,∴+=0,+=0,又∵+
54、++=0,∴=++,①同理 =++,②由①+②得,2=++(+)+(+)=+,∴=(+)15.如右图所示,已知=,=,用、表示,求.答案 -+解析 =+=+=+(-)=-.16.设a、b是不共线的两个非零向量,(1)若=2a-b,=3a+b,=a-3b,求证:A、B、C三点共线;(2)若8a+kb与ka+2b共线,求实数k的值.解析 (1)∵=(3a+b)-(2a-b)=a+2b,而=(a-3b)-(3a+b)=-2a-4b=-2,∴与共线,且有公共端点B,∴A、B、C三点共线.(2)∵8a+kb与ka+2b共线,∴存在实数λ,使得(8a+kb)=λ(ka+2b)⇒(8-λk)a+(k-2λ
55、)b=0,∵a与b不共线,∴⇒8=2λ2⇒λ=±2,∴k=2λ=±4.1.(09·湖南)如图,D,E,F分别是△ABC的边AB,BC,CA的中点,则( )A.++=0B.-+=0C.+-=0D.--=0答案 A解析 ∵=,=,=,∴++=(++)=(+)=×0=0,故选A.2.设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点,且=2,=2,=2,则++与( )A.反向平行 B.同向平行C
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