高中数学专题训练(教师版)—向量的概念

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1、高中数学专题训练（教师版）—向量的概念一、选择题1．设a是任一向量，e是单位向量，且a∥e，则下列表示形式中正确的是(　　)A．e＝　　　　　　　　　B．a＝

2、a

3、eC．a＝－

4、a

5、eD．a＝±

6、a

7、e答案　D解析　对于A，当a＝0时，没有意义，错误对于B、C、D当a＝0时，选项B、C、D都对；当a≠0时，由a∥e可知，a与e同反或反向，选D.2．a、b、a＋b为非零向量，且a＋b平分a与b的夹角，则(　　)A．a＝bB．a＝－bC．

8、a

9、＝

10、b

11、D．以上都不对答案　C3.如图所示，D是△ABC的边AB上的中点，则向量等于(　　)A．－＋　　B．－－C.－　　　D.＋答案　A解析　∵D是AB

12、的中点，∴＝.∴＝＋＝－＋4．(2011·山东师大附中)设a、b为不共线的非零向量，＝2a＋3b，＝－8a－2b，＝－6a－4b，那么(　　)A.与同向，且

13、

14、>

15、

16、B.与同向，且

17、

18、>

19、

20、C.与反向，且

21、

22、>

23、

24、D.∥答案　A解析　＝＋＋＝2a＋3b＋(－8a－2b)＋(－6a－4b)＝－12a－3b，＝－8a－2b，∴＝，∴与同向，且

25、

26、＝

27、

28、.∴

29、

30、>

31、

32、.故选A.5．已知P，A，B，C是平面内四点，且＋＋＝，那么一定有(　　)A.＝2B.＝2C.＝2D.＝2答案　D解析　由题意得＋＋＝－，即＝－2＝2，选D.6．(2010·湖北卷，理)已知ΔABC和点M满足M＋M＋M＝0.若存在实数

33、m使得A＋A＝m成立，则m＝(　　)A．2B．3C．4D．5答案　B解析　由M＋M＋M＝0得点M是ΔABC的重心，可知A＝(A＋A)，A＋A＝3A，则m＝3，选B.7．(2010·四川卷)设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，2＝16，

34、A＋A

35、＝

36、A－A

37、，则

38、A

39、＝(　　)A．8B．4C．2D．1答案　C解析　由

40、A＋A

41、＝

42、A－A

43、可知，A⊥A，则AM为RtΔABC斜边BC上的中线，因此

44、A

45、＝

46、B

47、＝2，选C.二、填空题8．设e是与向量共线的单位向量，＝3e，又向量＝－5e，若＝λ，则λ＝________.答案　－解析　＝＋＝3e－5e＝－2e由＝λ·得3e＝λ·(－2)·e∴λ

48、＝－9．已知O为△ABC内一点，且＋＋2＝0，则△AOC与△ABC的面积之比是________．答案　12解析　如图，取AC中点D.＋＝2∴＝∴O为BD中点，∴面积比为高之比．10．(2011·苏北四市调研)已知a，b是不共线的向量，若＝λ1a＋b，＝a＋λ2b(λ1，λ2∈R)，则A、B、C三点共线的充要条件为________．答案　λ1λ2－1＝0解析　A、B、C三点共线⇔∥⇔λ1λ2－1×1＝0⇔λ1λ2＝1，故选C11．已知

49、a

50、＝1，

51、b

52、＝，且a－b与a垂直，则a与b的夹角为________．答案　45°解析　如右图所示，作向量＝a，＝b，则＝a－b.∵OA＝1，OB＝，OA⊥

53、BA，∴cos∠AOB＝，∴∠AOB＝45°，故a与b的夹角为45°.12．已知△ABC中，点D在BC边上，且＝2，＝r＋s，则r＋s的值是________．答案　0解析　＝－，＝－.∴＝－－＝－－.∴＝－，∴＝－.又＝r＋s，∴r＝，s＝－，∴r＋s＝0.13．(09·安徽)在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点．若＝λ＋μ，其中λ、μ∈R，则λ＋μ＝________.答案　解析　＝＋，＝＋，＝＋，于是得，所以λ＋μ＝三、解答题14．已知：任意四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，求证：＝(＋)．证明　如图所示，∵E、F是AD与BC的中点，∴＋＝0，＋＝0，又∵＋

54、＋＋＝0，∴＝＋＋，①同理　＝＋＋，②由①＋②得，2＝＋＋(＋)＋(＋)＝＋，∴＝(＋)15．如右图所示，已知＝，＝，用、表示，求.答案　－＋解析　＝＋＝＋＝＋(－)＝－.16．设a、b是不共线的两个非零向量，(1)若＝2a－b，＝3a＋b，＝a－3b，求证：A、B、C三点共线；(2)若8a＋kb与ka＋2b共线，求实数k的值．解析　(1)∵＝(3a＋b)－(2a－b)＝a＋2b，而＝(a－3b)－(3a＋b)＝－2a－4b＝－2，∴与共线，且有公共端点B，∴A、B、C三点共线．(2)∵8a＋kb与ka＋2b共线，∴存在实数λ，使得(8a＋kb)＝λ(ka＋2b)⇒(8－λk)a＋(k－2λ

55、)b＝0，∵a与b不共线，∴⇒8＝2λ2⇒λ＝±2，∴k＝2λ＝±4.1．(09·湖南)如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则(　　)A.＋＋＝0B.－＋＝0C.＋－＝0D.－－＝0答案　A解析　∵＝，＝，＝，∴＋＋＝(＋＋)＝(＋)＝×0＝0，故选A.2．设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且＝2，＝2，＝2，则＋＋与(　　)A．反向平行　　　　　　　B．同向平行C