2016届高考数学一轮复习 6.6直接证明与间接证明练习 理

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1、第六节　直接证明与间接证明Ｋ一、直接证明1．综合法：从题设的已知条件出发，运用一系列有关已确定真实的命题作为推理的依据，逐步推演而得到要证明的结论，这种证明方法叫做综合法．综合法的推理方向是由已知到求证，表现为由因索果，综合法的解题步骤用符号表示是：P0(已知)⇒P1⇒P2⇒…⇒Pn(结论)．特点：由因导果，因此综合法又叫顺推法．2．分析法：分析法的推理方向是由结论到题设，论证中步步寻求使其成立的充分条件，如此逐步归结到已知的条件和已经成立的事实，从而使命题得证，表现为执果索因，分析法的证题步骤用符号表示为B(结论)⇐B1⇐B2⇐…⇐Bn⇐A(已知

2、)．特点：执果索因，因此分析法又叫逆推法或执果索因法．二、间接证明假设原命题的结论不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立．这样的证明方法叫反证法．反证法是一种间接证明的方法．1．反证法的解题步骤：否定结论—推演过程中引出矛盾—肯定结论．2．反证法的理论依据是：原命题为真，则它的逆否命题为真，在直接证明有困难时，就可以转化为证明它的逆否命题成立．3．反证法证明一个命题常采用以下步骤：(1)假定命题的结论不成立；(2)进行推理，在推理中出现下列情况之一：与已知条件矛盾；与公理或定理矛盾；(3)由于上述矛盾的出现，可

3、以断言，原来的假定“结论不成立”是错误的；(4)肯定原来命题的结论是正确的，即“反设—归谬—结论”．4．一般情况下，有如下几种情况的证明题目常常采用反证法：第一，问题共有n种情况，现要证明其中的1种情况成立时，可以想到用反证法把其他的n－1种情况都排除，从而肯定这种情况成立；第二，命题是以否定命题的形式叙述的；第三，命题用“至少”“至多”的字样叙述的；第四，当命题成立非常明显，而要直接证明所用的理论太少，且不容易说明，而其逆命题又是非常容易证明的．1．设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则下列关于t和s的大小关系中正确的是(D)A．t＞s　　　　　B

4、．t≥sC．t＜sD．t≤s解析：因为s－t＝a＋b2＋1－a－2b＝(b－1)2≥0，所以s≥t.2．对任意的锐角α，β，下列不等式成立的是(D)A．sin(α＋β)>sinα＋sinβB．cos(α＋β)>cosα＋cosβC．cos(α＋β)

5、＋，a≥0，则P、Q的大小关系是P

6、明：因为四边形ACC1A1为矩形，所以CC1⊥AC.同理DD1⊥BD.因为CC1∥DD1，所以CC1⊥BD.而AC∩BD＝O，因此CC1⊥底面ABCD.由题设知，O1O∥C1C，故O1O⊥底面ABCD.(2)解析：如图，过O1作O1H⊥OB1于点H，连接HC1.由(1)知，O1O⊥底面ABCD，所以O1O⊥底面A1B1C1D1，于是O1O⊥A1C1.又因为四棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱长都相等，所以四边形A1B1C1D1是菱形，因此A1C1⊥B1D1，从而A1C1⊥平面BDD1B1，所以A1C1⊥OB1，于是OB1⊥平面O1HC1，进而O

7、B1⊥C1H.故∠C1HO1是二面角C1OB1D的平面角．不妨设AB＝2.因为∠CBA＝60°，所以OB＝，OC＝1，OB1＝.在Rt△OO1B1中，易知O1H＝＝2.而O1C1＝1，于是C1H＝＝＝.故cos∠C1HO1＝＝＝.即二面角C1OB1D的余弦值为.2．(2013·江苏卷)已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，0<β<α<π.(1)若

8、a－b

9、＝，求证：a⊥b；(2)设c＝(0，1)，若a＋b＝c，求α，β的值．(1)证明：由

10、a－b

11、＝，即(cosα－cosβ)2＋(sinα－sinβ)2＝2，整理得cosα

12、cosβ＋sinαsinβ＝0，即a·b＝0，因此a⊥b.(2)解析：由已知条件又0<β<α<π，cosβ＝－cosα＝c