课题：34-2-函数的基本性质-函数的单调性

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1、第三章函数的基本性质http://www.fxzx.fp.net.cn/teacher/jhw/index.htm课题：3.4-2-函数的基本性质-函数的单调性教学目标：1.掌握函数单调性的概念，会判断一些函数的单调性；掌握单调函数图像的性质；能够初步应用函数单调性。2.通过函数单调性概念的形成过程，培养用运动变化的观点和数形结合思想进行观察、归纳，提高抽象能力。3.培养学生理论联系实际的辩证唯物主义思想。教学重点：函数单调性概念和函数单调性的判断教学难点：函数单调性概念第1课时：[重点：函数单调性概念及其判断；难点

2、：函数单调性概念的形成]教学过程：一、设置问题情境：[引例]学校准备建造一个长方形的花坛，面积设计为16平方米。考虑到花坛的实用性和周围环境的限制，其中一边的长度长不能超过10米，短不能少于3米，求花坛长与宽两边之和的最小值和最大值。思考：1．如何把实际问题归结为数学问题？经过思考、讨论，估计学生可以把问题归结为：设受限制一边长为x米，则3≤x≤10，另一边为米，求两边之和f(x)＝x＋（3≤x≤10）的最小值和最大值。2．如何求最小值？——运用不等式基本性质。x＋≥8，当且仅当x＝4时，x＋有最小值8。3．如何求最

3、大值？——研究f(x)随x的变化而变化的规律。研究实际生活中的数据曲线和一次函数、反比例函数、二次函数的图像，寻找函数f(x)随x的变化而变化的规律。(有PPT课件)课题：如何用x与f(x)来描述上升的函数图像？如何用数量关系来刻画“x变大时，f(x)也随之变大”呢？提示：研究偶函数时，由P1（x1，f(x1)）与点P2（x2，f(x2)）关于y轴对称，得到x2＝－x1，f(x2)＝f(x1)，即f(－x1)＝f(x1)——用数量关系表示图形性质研究：在函数图像上找两点Q1（x1，f(x1)）与点Q2（x2，f(x2

4、)），两点的位置关系如何？能否用数量关系来表示呢？容易发现：x1＜x2，f(x1)＜f(x2)即：若点P1（x1，f(x1)）与P2（－x1，f(－x1)）在上升的函数图像上，则x1＜x2，f(x1)＜f(x2)或者x1＞x2，f(x1)＞f(x2)。显然逆命题也成立：若点P1（x1，f(x1)）与P2（－x1，f(－x1)）满足x1＜x2，f(x1)＜f(x2)或者x1＞x2，f(x1)＞f(x2)，则点P1与P2在上升的函数图像上。重要发现：x1＜x2，f(x1)＜f(x2)或者x1＞x2，f(x1)＞f(x2)

5、是点P1（x1，f(x1)）与点P2（－x1第三章函数的基本性质http://www.fxzx.fp.net.cn/teacher/jhw/index.htm，f(－x1)）在上升的函数图像上的充要条件！推断：只要证明函数图像上的任意两点P1（x1，f(x1)）与P2（－x1，f(－x1)）均满足x1＜x2，f(x1)＜f(x2)或者x1＞x2，f(x1)＞f(x2)，则函数图像必定是上升的。研究结论：图像上升的函数具有以下特征：对于函数f(x)定义域D内给定的区间I上的任意两个值x1、x2，当x1＜x2，都有f(x

6、1)＜f(x2)。称函数y＝f(x)在区间I上是增函数。类比：图像下降的函数具有以下特征：对于函数f(x)定义域D内给定的区间I上的任意两个值x1、x2，当x1＜x2，都有f(x1)＞f(x2)。称函数y＝f(x)在区间I上是减函数。——函数的这两种性质都叫做函数的单调性。研读定义：(1)函数的单调性是在函数定义域D内的某个区间上的性质，这个区间叫做单调区间。(2)判断一个函数在某个区间上的单调性时，用任意性进行证明；判断一个函数在某个区间上不具有单调性时，只需要举出一个反例即可。练习：教材P.69练习3.4(2)-

7、1：指出单调递增区间和单调递减区间。[例1]证明函数f(x)＝3x＋2在区间(－∞，＋∞)上是增函数。教材P.68-例4证明：设x1、x2∈R，且x1＜x2f(x2)－f(x1)＝(3x2＋2)－(3x1＋2)＝3(x2－x1)∵x1＜x2即x2－x1＞0∴f(x2)－f(x1)＞0即f(x1)＜f(x2)则f(x)＝3x＋2在区间(－∞，＋∞)上是增函数反思：严格按照定义运用作差比较法进行证明。[例2]证明函数f(x)＝在区间(0，＋∞)上的单调性。教材P.68-例5证明：设0＜x1＜x2f(x2)－f(x1)＝－

8、＝＝∵0＜x1＜x2即x2＋x1＞0，x1－x2＜0，x22x12＞0∴f(x2)－f(x1)＜0即f(x1)＞f(x2)则f(x)＝在区间(0，＋∞)上是减函数反思：证明要有依据。[例3]判断函数f(x)＝x2－2x的单调性，指出它的单调区间，并加以证明。解：∵f(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1——数形结合即可判断∴f(x)的单调递减区间