微分方程数值解习题

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1、微分方程初值问题数值解习题课一、应用向前欧拉法和改进欧拉法求由如下积分所确定的函数y在点x=0.5,1.0,1.5的近似值。解：该积分问题等价于常微分方程初值问题其中h=0.5。其向前欧拉格式为改进欧拉格式为将两种计算格式所得结果列于下表向前欧拉法改进欧拉法000010.50.50.4447021.00.889400.7313731.51.073340.84969二、应用4阶4步阿达姆斯显格式求解初值问题取步长h=0.1.解：4步显式法必须有4个起步值，已知，其他3个用4阶龙格库塔方法求出。本题的

2、信息有：步长h=0.1；结点；经典的4阶龙格库塔公式为算得,,4阶4步阿达姆斯显格式由此算出三、用Euler方法求问步长应该如何选取，才能保证算法的稳定性？解：本题本题的绝对稳定域为得，故步长应满足四、求梯形方法的绝对稳定域。证明：将Euler公式用于试验方程，得到整理设计算时有舍入误差，则有据稳定性定义，要想，只须因此方法绝对稳定域为复平面的整个左半平面（？），是A-稳定的。五、对初值问题证明：用梯形公式求得的数值解为并证明当步长时，收敛于该初值问题的精确解证明：由梯形公式，有整理，得由此递推公

3、式和初值条件，有，则有在区间上有，步长，由前面结果有由x的任意性，得所证。六、对于微分方程，已知在等距结点处的y的值为，h为步长。试建立求的线性多步显格式与与隐格式。解：取积分区间，对两端积分：对右端作的二次插值并积分得到线性4步显格式若对右端在两点上作线性插值并积分，有由此产生隐格式七、证明线性多步法存在的一个值，使方法是4阶的。解：由本题的公式，有当=9时，，局部截断误差是4阶的，故该多步法是4阶方法。数值积分习题解答说明1.确定下列求积公式中的参数，使其代数精度尽可能高，并指出对应的代数精度

4、（1）（2）（3）（4）6.若用复化梯形公式计算问区间[0,1]应分成多少等份才能使截断误差不超过？若用复化辛普森公式，要达到同样的精度，区间[0,1]应分成多少等份？7．如果，证明用梯形公式计算定积分所得结果比准确值I大，说明其几何意义。10．构造Gauss型求积公式11.用n=2,3的高斯-勒让德公式计算积分13.证明等式试依据的值，用外推算法求π的近似值。定理6.4设函数逼近数的余项为(6.23)则由，q为任意常数定义的函数也逼近，且有17.确定数值微分公式的截断误差表达式答