微分方程数值解习题(李立康)

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1、常微分方程习题《李立康》习题1.用Euler方法求初值问题在时的近似解（取）。2.初值问题有解。但若用Euler方法求解，对一切和,都只能得到，试解释此现象产生的原因。3.用Euler方法计算在处的值，取，将计算结果与精确值相比较。4.设满足定理2.1的条件，对改进Euler法（2.10）式证明：（1）其局部截断误差为；（2）当时，其整体截断误差满足：（3）方法具有二阶收敛速度且稳定。5.导出用改进Euler法求解计算公式取计算的近似值，并与习题3的结果比较。6.就初值问题分别导出用Euler方法和改进Euler

2、法求近似解的表达式，并与真解相比较。7.证明改进Euler法的绝对稳定区域是整个左半平面。8.对初值问题用的Euler方法求解，求出实际计算值与真解在处的误差，并将它与定理2.3的估计式（2.22）式相比较。9.证明：Runge-Kutta方法中关于满足Lipschitz条件的充分条件是关于或满足Lipschitz条件。10.证明定理2.6.11.证明定理2.7的推论（推论2.1）：“级Runge-Kutta方法相容的充分必要条件是”。12.Runge-Kutta方法并不是导出高阶单步方法的唯一途径，如令，则可将

3、取为，证明这是一个二阶的单步方法。[提示：利用Taylor展开后比较相当项的系数的方法。]13.证明三阶Runge-Kutta方法对于求解微分方程与三阶Taylor级数法的计算格式的形式完全相同。14.对Heun二阶方法（2.10）式作出如图2.3那样的几何解释。15.用Taylor级数法求方程的的近似值（取），并说明近似值精度情况。16.求线性三步四阶显示方法的计算格式。（取为参数）17.求具有最高阶的三步方法的计算格式。18.设无公因子，证明线性多步方法至少二阶相容的充分必要条件是19.证明：与算子相应的线性

4、多步方法阶相容的充分必要条件是而此时误差常数为20.讨论最高阶的两步方法（Milne方法（2.69）式）和最高阶的三步方法（习题17）的稳定性。21.检验四步方法是否收敛。22.证明：方法的阶为二23.推到计算格式的系数使方法有尽可能高的阶数，并讨论它的稳定性。24.讨论最高阶三步方法（习题17）的绝对稳定性。25.讨论多步方法当取那些值时是稳定的；当取那些值时有绝对稳定区域非空。26.在两步三阶方法中，讨论当在什么范围种变化才能使算法绝对稳定。设此时的绝对稳定区域在实轴上的范围是，求的值。27.用公式（2.10

5、1）推到和时的Gear方法。28.用公式（2.101）求下列计算公式的截断误差阶和各项系数：（1）（向后Euler公式）；（2）；（3）和时的Adams外插公式和内插公式。29.证明：一步Gear方法（习题28之（1））和两步Gear方法（2.102）式都是A-稳定的。30.求一级、二级隐式Runge-Kutta方法（2.116）式、（2.117）式局部的截断误差项。31.证明：（2.116）式（2.117）均为A-稳定的方法。计算实习1.编一个用Euler方法解的程序，使之适用于任意右端函数，任意步长和任意区间

6、。用分别计算初值问题在结点上打印出问题的精确解（真解为）。计算近似解、绝对误差、相对误差、先验误差界，分析输出结果（这与获得输出结果同样重要）。2.编一个与上题同样要求的改进Euler法的计算程序，的初值用Euler方法提供，迭代步数为输入参数。用它求解上题的问题，并将两个结果加以比较。3.编一个程序用Taylor级数法求解问题取Taylor级数法的截断误差为，即要用的值。[提示：可用一个简单的地推公式来获得。]4.用四阶古典Runge-Kutta方法（或其他精度不低于四阶的方法），对时的标准正态分布函数：产生一

7、张在[0,5]之间的80个等距结点（即）处的函数值表。[提示：寻找一个以为解的初值问题。]5.（一个“刚性”的微分方程）用四阶古典Runge-Kutta方法阶初值问题：取每隔8步打印出数值解与真解的值，画出它们的大致图像，并对产生的结果做出解释。[提示：当初值时，方程的真解变为。]6.分别用Adams三步和四步外插公式，用求解将计算结果与真解t进行比较，并对所产生的现象进行理论分析。7.用Adams三步内插公式预测、Adams四步外插公式校正次的预-校算法重新求解上题的方程，将结果与上题作比较，并解释产生差异的原

8、因。8.对（1.3）式所示的Lotka-Volterra“弱肉强食”模型，令即（1）取，用任意一种精度不低于三阶的方法求解，要求结果至少有三位有效数字。作出的图像及关于的图像。（2）对解这同一个模型，分别画出关于的函数图像。（3）讨论所获得的结果并分析原因。[提示：注意平面上的点（3,2），它被称为平衡点。]习题抛物方程习题1.推导扩散方程的三层差分格式：的截断误差，并证