微分方程数值解

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1、WORD格式可编辑微分方程数值解及其应用绪论自然界中的许多事物的运动和变化规律都可以用微分方程来描述，因此对工程和科学技术中的实际问题的研究中,常常需要求解微分方程．但往往只有少数较简单和典型的微分方程可求出其解析解，在大多数情况下,只能用近似法求解，数值解法是一类重要的近似方法．本文主要讨论一阶常微分方程的初值问题的数值解法，探讨这些算法在处理来自生活实际问题中的应用，并结合MATLAB软件，动手编程予以解决．１　微分方程的初值问题1.1预备知识在对生活实际问题的研究中，通常需要考虑一阶微分方程的初值问题（1）这里是矩形区域：上的连续函数．对初值问题（1）需

2、要考虑以下问题：方程是否一定有解呢?若有解，有多少个解呢?下面给出相关的概念与定理．定义1条件：矩形区域：上的连续函数若满足：存在常数，使得不等式对所有都成立，则称在上关于满足条件.定理1解的存在唯一性定理：设在区域上连续，关于满足条件，则对任意的，常微分方程初值问题（1）当时存在唯一的连续解．该定理保证若一个函数关于满足条件，它所对应的微分方程的初值问题就有唯一解.在解的存在唯一性得到保证的前提下，自然要考虑方程的求专业知识整理分享WORD格式可编辑解问题．求解微分方程虽然有多种解析方法，但根据工程和科学实践问题所得到的微分方程往往很复杂，在很多情况下不能或

3、很难给出解析解，有时即使能求出形式解，也往往因形式过于复杂或计算量太大而不实用，因此从实际问题中归结出来的微分方程主要依靠数值解法．定义2微分方程数值解：对初值问题（1）寻求数值解就是寻求解在一系列离散节点上的近似解，相邻两个节点的间距称为步长.在一般情况下假定为常数，这时节点为．要求微分方程数值解，首先要建立数值算法，即对初值问题（1）中的方程离散化，建立求解数值解法的递推公式．一类是计算时只用到前一点的值，称为单步法；另一类是用到前面点的值称为步法.对初值问题（1）式的单步法可用一般形式表示为，其中多元函数与有关，当含有时，方法是隐式的；若中不含，则为显式

4、方法，所以显式单步法可表示为.（2）设是初值问题（1）的准确解，称为显式单步法（2）的局部截断误差.若存在最大正整数,使显式单步法（2）式的局部截断误差满足，则称（2）式有阶精度.1.2几种常用的数值解法及其分析、比较1.2.1欧拉法与后退欧拉法1）欧拉法：欧拉曾简单地用差分代替微分，即利用公式将初值问题（1）离散化，则问题（1）可化为专业知识整理分享WORD格式可编辑，（3）此方法称为欧拉法.欧拉方法的几何意义在数值计算公式中体现了出来.在平面上，一阶微分方程的解称作它的积分曲线.积分曲线上一点的切线斜率等于函数，按函数在平面上建立一个方向场，那么，积分曲线

5、上每一点的切线方向均与方向场在该点的方向相一致.基于上述几何解释，从初始点出发，先依方向场在该点的方向上推进到上一点，再从依方向场的方向推进到上一点，循环前进便作出一条折线，因此欧拉方法又称为折线法.若初值已知，则由（3）式可逐步算出为了分析计算公式的精确度，通常可用泰勒展开将在处展开，则有在的前提下，可得欧拉法（3）的误差为容易看出，欧拉法（3）式具有一阶精度.2）向后欧拉方法：如果对微分方程（1）从到积分，得，（4）如果（4）式右端积分用右矩形公式近似，则得到另一个公式专业知识整理分享WORD格式可编辑，（5）称为后退欧拉法.值得一提的是:后退欧拉法与欧拉

6、公式有着本质的区别，后者是关于的直接计算公式，它是显式的，而（5）式的右端含有关于的表达式，它是隐式的.在利用后退欧拉法时，我们通常利用迭代法求解，实质就是逐步显示化.具体迭代过程如下：首先利用欧拉公式给出迭代初值，把它代入（5）式的右端，使之转化为显式，直接计算得.如此反复进行，得，则得到后退欧拉法的迭代公式，可以看出，后退欧拉法具有一阶精度，且计算比较麻烦.1.2.2梯形方法为得到比欧拉法精确度高的计算公式，在等式（4）式右端积分中若用梯形求积公式近似，并用代替，代替，则得，（6）称其为梯形方法.梯形方法与后退欧拉法一样，都是隐式单步法，可用迭代法求解，其

7、迭代公式为.（7）为了分析梯形公式的收敛性，将（6）与（7）式相减，得，因为满足条件，于是有，其中为专业知识整理分享WORD格式可编辑关于的常数.如果选取充分小，使得，则当时有，这说明迭代过程（7）式是收敛的[4].容易推导得出梯形法（7）式是二阶方法.经分析，梯形方法虽然提高了精度，但是以增加计算量为代价的.从上述的迭代公式可以看出，每迭代一次都要重新计算的值，而且迭代又要进行若干次，计算相当的复杂.为此，有没有比较简便的计算方法呢？下面给出改进的欧拉方法.1.2.3改进的欧拉方法由前面的讨论可知，梯形法计算相对复杂，现对上面的梯形法进行简化，具体方法是只计

8、算一两次就转入下一步的计算，先用欧拉公