微分方程数值解(学生复习题

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1、一．填空1.Euler法的一般递推公式为，整体误差为，局部截断误差为：.，改进Euler的一般递推公式整体误差为，局部截断误差为：。2.线性多步法绝对稳定的充要条件是。3.当，则单步法稳定。4.一个相容，稳定的多步法若绝对稳定，则绝对稳定域在。5.若，则多步法是相容的。6．所有内点，界点的差分方程组成一个封闭的线性代数方程组，其系数矩阵是。7.刚性方程是：8．Runge-Kutta法的特征值为，相容的充要条件为：8.二阶常微分方程边值问题：的中心差分格式为：9.若内点的四个相邻点均属于，则称为。10.逼近泊松方程的五点差分格式的截断误差的阶

2、为。逼近泊松方程的九点差分格式的截断误差的阶为。11.线性多步法A稳定的充要条件是。12.SOR收敛当且仅当松弛因子，且Jacobi迭代收敛。最佳松弛因子是。二．判断1.当时间步长和空间步长无限缩小时，差分格式的解是否逼近到微分方程问题的解，这就是差分格式的收敛性问题。2.单参数的PR迭代格式的收敛速度与SOR最佳超松弛法的收敛速度同阶。3、对称矩阵的普条件数与条件数相同。4、一级Runge-Kutta法的绝对稳定域（-2，0）5、若差分方程满足相容条件，且按右端稳定，则差分解收敛至波动方程的解。6、Euler法非A稳定。7．对任意网比，六

3、点对称格式的解有收敛阶8.对任意网比，向前差分格式的解有收敛阶。9、相容，稳定的多步法一定绝对稳定。三．选择1.抛物型方程的加权隐式差分格式的稳定性为（）A绝对稳定B无条件稳定C条件稳定D非条件稳定2.vonNeumann条件是差分格式稳定的（）A充分条件B必要条件C充要条件D既非充分也非必要条件3．实系数二次方程的根按模小于或者等于1的充要条件是（）ABCD4.若线性多步法A稳定，则有（），其中为的根。ABCD5.一个相容，稳定的多步法若绝对稳定，则绝对稳定域在（）A下半平面B上半平面C左半平面D右半平面6．线性多步法稳定的充要条件是（）

4、A第一特征式满足根条件B第一特征式严格满足根条件C满足根条件D严格满足根条件7.P阶K步法的局部截断误差的阶为（）ABCD8.线性多步法绝对稳定的充要条件是（）A第一特征式满足根条件B第一特征式严格满足根条件C满足根条件D严格满足根条件9.Euler法的整体误差为()ABCD四．计算1.试求差分方程初值问题：的解。2.已知显式方法（1）取为参数，确定，使方法至少是二阶的；（2）当取何值时，方法满足根条件；3.k步线性法：，证明其A稳定。4.证明对所有的都绝对稳定。5.由待定系数法构造边值问题：的中心差分格式。6.求正三角网上的差分格式。7.

5、用有限体积法推导五点格式。8.写出扩散方程的向前，向后差分方程（中心差分格式，用第n层计算第n+1层），并把有限差分方程改写成便于计算的迭代格式（矩阵形式），为网比。9.计算差分格式，（其中）的增长因子，并根据vonNeumann条件给出差分格式稳定性条件。10.已知线性多步法：试求它的阶及误差常数。11.计算向前，向后等差分格式的增长因子，并给出稳定性条件。12.Adams二步外插法：，试求其绝对稳定域。五．证明题1.将三层差分格式改写为改写成等价的二层差分格式，写出其增长矩阵，并由vonNeumann条件证明该格式是否稳定。其他例子关于

6、证明差分格式稳定或者不稳定（参考书上的课后习题及例题）。2.求N阶三角阵：或者的特征值和特征向量，并证明矩阵是病态的。3.证明Euler向后公式A稳定：。4.证明：梯形公式：，证明其A稳定。