大学数学竞赛模拟题c-8解答

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1、一、填空题（本题共10小题，每小题6分，满分60分.把答案填在题中横线上）⒈若，则a=1，b=－4．【分析】本题属于已知极限求参数的反问题.【详解】因为，且，所以，得a=1.极限化为，得b=-4.因此，a=1，b=-4.【评注】一般地，已知＝A，(1)若g(x)®0，则f(x)®0；(2)若f(x)®0，且A¹0，则g(x)®0.⒉设,则的间断点为0．【分析】本题属于确定由极限定义的函数的连续性与间断点.对不同的,先用求极限的方法得出的表达式,再讨论的间断点.【详解】显然当时,;当时,,所以,因为故为的间断点.⒊曲线y=l

2、nx上与直线垂直的切线方程为．【分析】本题为基础题型，相当于已知切线的斜率为1，由曲线y=lnx的导数为1可确定切点的坐标。【详解】由，得x=1,可见切点为，于是所求的切线方程为，即.【评注】本题也可先设切点为，曲线y=lnx过此切点的导数为，得，由此可知所求切线方程为，即.⒋已知，且f(1)=0,则f(x)=．【分析】先求出的表达式，再积分即可。【详解】令，则，于是有，即积分得.利用初始条件f(1)=0,得C=0，故所求函数为f(x)=.【评注】本题属基础题型，已知导函数求原函数一般用不定积分。⒌设函数由参数方程确定,则

3、曲线向上凸的取值范围为．【分析】判别由参数方程定义的曲线的凹凸性，先用由定义的求出二阶导数,再由确定的取值范围.【详解】,,令.又单调增,在时,。(时，时，曲线凸.)⒍设，则．【详解】因为，，所以，.【评注】本题属基本题型，主要考查复合函数求导⒎若时，与是等价无穷小，则a=－4.【分析】根据等价无穷小量的定义，相当于已知，反过来求a.注意在计算过程中应尽可能地应用无穷小量的等价代换进行化简.【详解】当时，，.于是，根据题设有，故a=－4.⒏设，则．【分析】本题属于求分段函数的定积分，先换元：x-1=t，再利用对称区间上奇偶

4、函数的积分性质即可.令x-1=t，＝.【评注】一般地，对于分段函数的定积分，按分界点划分积分区间进行求解.⒐由定积分的定义知，和式极限．【详解】＝⒑．【分析】利用变量代换法和形式上的牛顿莱布尼兹公式可得所求的广义积分值.【详解1】.【详解2】一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，满分40分.把答案填在括号内）11．把时的无穷小量，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是【B】(A).(B).(C).(D).【分析】对与变限积分有关的极限问题，一般可利用洛必塔法则实现对变限积分的求导并结合无穷小代换求解.【详

5、解】,即.又,即.从而按要求排列的顺序为,故选（B）.12．设函数f(x)连续，且则存在，使得【C】(A)f(x)在（0，内单调增加.（B）f(x)在内单调减少.（C）对任意的有f(x)>f(0).(D)对任意的有f(x)>f(0).【分析】可借助于导数的定义及极限的性质讨论函数在附近的局部性质.【详解】由导数的定义知,由极限的性质,,使时,有即时,，时,,故选（C）.13.设,则【C】（A）是的极值点,但不是曲线的拐点.（B）不是的极值点,但是曲线的拐点.（C）是的极值点,且是曲线的拐点.（D）不是的极值点,也不是曲线的

6、拐点.【分析】求分段函数的极值点与拐点，按要求只需讨论两方,的符号.【详解】,,,从而时,凹,时,凸,于是为拐点.又,时,,从而为极小值点.所以,是极值点,是曲线的拐点,故选（C）.14.等于【B】（A）.（B）.（C）.（D）【分析】将原极限变型，使其对应一函数在一区间上的积分和式。作变换后,从四个选项中选出正确的.【详解】故选（B）.15.函数在下列哪个区间内有界.【A】(A)(-1,0).(B)(0,1).(C)(1,2).(D)(2,3).【分析】如f(x)在(a,b)内连续，且极限与存在，则函数f(x)在(a,b

7、)内有界.【详解】当x¹0,1,2时，f(x)连续，而，，，，，所以，函数f(x)在(-1,0)内有界，故选(A).16.设f(x)在(-¥,+¥)内有定义，且，，则【D】(A)x=0必是g(x)的第一类间断点.(B)x=0必是g(x)的第二类间断点.(C)x=0必是g(x)的连续点.(D)g(x)在点x=0处的连续性与a的取值有关.【分析】考查极限是否存在，如存在，是否等于g(0)即可，通过换元，可将极限转化为.【详解】因为=a(令)，又g(0)=0，所以，当a=0时，，即g(x)在点x=0处连续，当a¹0时，，即x=0

8、是g(x)的第一类间断点，因此，g(x)在点x=0处的连续性与a的取值有关，故选(D).17.设在[a,b]上连续，且，则下列结论中错误的是【D】(A)至少存在一点，使得>f(a).(B)至少存在一点，使得>f(b).(C)至少存在一点，使得.(D)至少存在一点，使得=0.【分析】利用介值定理与极限的保