大学数学竞赛模拟题c-11解答new

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1、一、填空：（本题15分，每空3分。请将最终结果填在相应的横线上面。）1.。2.设，则使存在的最大n=4。3.0。4.设，，若与OZ轴垂直，则λ=2。5.设L为正向圆周在第一象限中的部分，则。二、选择题：（本题15分，每小题3分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。）1.函数的第一类间断点的个数为（C）。（A）0；（B）1；（C）2；（D）3。2.设与具有任意阶导数，且，，，则（A）。（A）为函数的极小值；（B）为函数的极大值；（C）点（0,1）为曲线的拐点；（D）极值与拐点由确定。

2、3.设函数，，又与都不存在，则下列结论正确的是（D）。（A）若不存在，则必不存在；（B）若不存在，则必存在；（C）若存在，则必存在；（D）若存在，则必不存在。4.设具有2阶连续偏导数，，，。若是由方程所确定的在点附近的隐函数，则是的极小值点的一个充分条件为（B）（A）；（B）；（C）；（D）。5.设L为折线的正向一周，则（C）。6（A）－2sin2；（B）－1；（C）0；（D）1。三、设函数⑴a为何值时，在x=0点处连续；⑵a为何值时，x=0为的可去间断点。（本题7分）解：因为命：，即，解得。当时，，故在x=0点处连续。当时，，故x=0为的可去间断点。四、设（n为正整数）

3、，⑴求在闭区间[0,1]上的最大值M（n）；⑵求。（本题7分）解：⑴命，得，。当时，；6时，，故为的极大值点，为对应的极大值。又，故即为在闭区间[0,1]上的最大值：。⑵。五、计算。（本题6分）解：，其中，故。六、设对任意x，都有，且在x=0点处连续，，证明：在x=0点处也连续。（本题6分）证明：首先，由，知，从而。又由，知。又在x=0点处连续，，知，，于是有。即。所以，在x=0点处也连续。七、设，，计算。（本题7分）解：用曲线将区域D分成三部分则6八、在椭球面上求一切平面，它在坐标轴的正半轴截取相等的线段。（本题7分）解：设，切点为（x0,y0,z0），故该点处切平面的

4、法向量为，，。切平面方程为，即。依题意，有截距，即。由于切点在椭球面上，故有，即，从而解得，于是有。切平面方程为。九、设为连续函数，求证，其中。（本题7分）证明：6十、设函数在闭区间[a,b]上具有二阶导数，且，，。证明：存在一点ξ∈（a,b）使得。（本题7分）证明：因为在闭区间[a,b]上连续，且，，以及，故在开区间（a,b）内至少存在一个小区间使得在其内为正，从而知在闭区间[a,b]上的最大值为正，且最大值点η∈（a,b），。对于x∈[a,b]，有泰勒公式，其中ξ位于x与η之间。命x=a，则，因其中，，故。十一、设二元函数具有二阶偏导数，且，证明的充要条件为：。（本题

5、8分）证明：必要性若，则，显然有。充分性若，则，由于，所以6，即，因此不含y，故可设。从而有，，即。十二、计算曲面积分，其中Σ为空间区域边界曲面的外侧。（本题8分）解：命，，。作辅助曲面Σ1为球面的外则，其中0<ε<1。则，其中（Ω1为Σ与Σ1之间的空间区域）。所以6