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《大学数学竞赛模拟题c-7解答》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、三、解答题（本大题共7个题，满分为100分）19．（本题满分12分）求极限.【分析】此极限属于型未定式.可利用罗必塔法则,并结合无穷小代换求解.【详解1】原式………………………3分………………………3分………………………2分………………………2分………………………2分【详解2】原式………………………3分………………………3分………………………3分………………………3分20．（本题满分15分）设函数在（）上有定义,在区间上,,若对任意的都满足,其中为常数.(Ⅰ)写出在上的表达式;(Ⅱ)问为何值时,在处可导.【分析】分段函数在分段点的可导性只能用导数
2、定义讨论.【详解】(Ⅰ)当,即时,………………………2分.………4分(Ⅱ)由题设知.………………………………………………2分…………………2分.………………2分令,得.………………………………………………2分即当时,在处可导.………………………………………………1分21．(本题满分10分)设f（x），g（x）均在［a,b］上连续，证明柯西不等式【证法1】辅助函数法：令………………2分……4分故F(u)“”。又因为F(a)＝0，故F(b)≤F(a)=0………………2分即………………1分结论成立。证毕。………………1分【证法2】判别式法：设t为任意实
3、数，则………………3分故……3分上式中间部分是关于实数t的二次三项式，故当判别式△＝B2－4AC≤0时不等号才能成立，即………………3分由此可推出命题成立。证毕。………………1分【证法3】（二重积分法）令………………………………2分则，…………………2分同样地，…………1分……2分故其中D：a≤x≤b，a≤y≤b。结论成立。证毕。………………3分22．（本题满分15分）设,证明.【分析】根据要证不等式的形式，可考虑用拉格朗日中值定理或转化为函数不等式用单调性证明.【证法1】对函数在[a,b]上应用拉格朗日中值定理，得………………2分…………………
4、………………3分设，则，…………………………………3分当t>e时，所以单调减少，从而，即………2分，…………………………………3分故.…………………………………2分【证法2】设，则…………………………………3分，…………………………………1分,…………………………………1分所以当x>e时，故单调减少，从而当时，…………2分，…………………………………2分即当时，单调增加.…………………………………2分因此当时，，…………………………………2分即，…………………………………1分故.…………………………………1分【评注】本题也可设辅助函数为或，再用单
5、调性进行证明即可。23．（本题满分20分）曲线与直线及围成一曲边梯形.该曲边梯形绕轴旋转一周得一旋转体,其体积为,侧面积为,在处的底面积为.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)计算极限.【分析】用定积分表示旋转体的体积和侧面积，二者及截面积都是的函数,然后计算它们之间的关系.【详解】(Ⅰ)…………………………………2分……………2分,……………………2分,……………………3分.…………………………………………1分(Ⅱ),…………………………………2分…………………………2分…………………………3分…………………………3分24．(本题满分8分)设f(x),g(x)
6、在[a,b]上连续，且满足，xÎ[a,b)，.证明：.【分析】令F(x)=f(x)-g(x)，，将积分不等式转化为函数不等式即可.【详解】令F(x)=f(x)-g(x)，，…………………………2分由题设G(x)³0，xÎ[a,b]，G(a)=G(b)=0，.…………………………1分从而，……2分由于G(x)³0，xÎ[a,b]，故有，…………………………1分即.…………………………1分因此.…………………………1分【评注】引入变限积分转化为函数等式或不等式是证明积分等式或不等式的常用的方法.25．（本题满分20分）某种飞机在机场降落时，为了减少滑
7、行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下.现有一质量为9000kg的飞机，着陆时的水平速度为700km/h.经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比（比例系数为问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？注kg表示千克，km/h表示千米/小时.【分析】本题是标准的牛顿第二定理的应用，列出关系式后再解微分方程即可。【详解1】由题设，飞机的质量m=9000kg，着陆时的水平速度.从飞机接触跑道开始记时，设t时刻飞机的滑行距离为x(t)，速度为v(t).………………3分根据牛顿第二定律，得.…………………
8、……………………………3分又，………………………………………………3分由以上两式得，………………………………………………3分积分得由于，
