多元函数微分学及其应用ii

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1、四应用1几何应用例42（大连理工）求曲线上与平面平行的切线方程。解曲线上任意一点切线的切向量为，平面的法向量为，由题设得，解之得，或。当时，切点为，切向量为，所以切线方程为。当时，切点为，切向量为，所以切线方程为，即。例43（北京科技大学2001）求曲线在点处的切线与法平面方程。解记，则，同理可得，因此，曲线在点的切线方程和法平面方程分别为和。思考题12（北京科技大学1999）求曲线在点处的切线与法平面方程。思考题13（四川大学2000）求曲面在点处的切平面方程。21例44（武汉水利电力学院）已知平面与椭球面

2、相切，证明：。证设已知平面与椭球面的切点为，则过该点的切平面方程为，即，这样它与表示同一个平面，因此有，且，又，从而有。例45（浙江理工大学，东北师范大学）证明：若函数有连续的偏导数，则曲面：上任一点的切平面都平行于直线：。证曲面上任一点的法向量为，直线的切向量为，于是，此说明曲面上任一点处的切平面都平行于直线。例46（长沙铁道学院）求过直线与曲面相切的切平面方程。解过直线的平面方程为，其法向量为。设曲面上的切点为，则该点的切平面法向量为，于是有解之得，或，故所求的切平面方程为21，或。2函数的极值与最值多元

3、函数最值问题较一元函数复杂，难点在于边界曲线上极值的计算。例47（中国人民大学2000）证明：函数有无穷多个极大值，但无极小值．证，，令得稳定点，．，，，当为偶数时，，，故在上取极大值，当为奇数时此处无极值，故为无穷多个极大值无极小值．例48（北京科技大学2001）求函数在：上的最大值和最小值。解，令其为零得，点，故在上的最大最小值只能在的边界上取到。于是问题转化为：求在条件下的最大最小值。构造Lagrange乘法函数，求的所有偏导数，并令其等于零得解之得或，代入得。思考题14（北京科技大学1998）求函数在

4、有界区域上的最大值和最小值。例49（华中师大2001）设在有界闭区域上有二阶连续偏导数，且。（1）证明：的最大值和最小值只能在的边界上取得。证由于在有界闭区域上连续，故必存在最大最小值，因此只需证：内任意点不可能是极值点，由二元函数极值的充分条件知，只需证：在内恒有21。事实上，由已知条件（1）得。思考题15（西北工业大学）在平面上求一点，使它与个定点的距离之平方和最小。3条件极值条件极值问题有时可转化为无条件极值来计算，但有时这种转化很繁，或不可能，因此必须使用Lagrange乘数法。此时的最大困难是方程组

5、的求解和极值的判别。当方程组的解唯一时，往往可根据实际意义去判断；有时这种判别是十分困难的，需要较高的技巧；当求最值时，而根据实际意义最值一定存在，这时可直接计算其值，然后比较大小即可。例50（厦门大学）求函数在条件下的极值．该极值是极大值还是极小值？为什么？解令，则，，，解之得四组解：，，，．在这些点上，．又在上，，且当，即时取等号，四组解均为极小值．例51（清华大学2000）求函数在条件下的最大值和最小值。解Lagrange乘法函数为，求的偏导数，并令它们等于零得：由第一和第三个方程得，或。因此，当时，解

6、为或或。当时，若，则解为21，或或或，当时，解为或又为有界闭区域上的连续函数，所以最大最小值一定存在，因此，当时，其边界上函数值为零，从而最大值为，最小值为；当时，其最大值与最小值仍然是与，因此，所求的最大最小值与。例52（武汉大学2000）求函数在下的最小值。解令，则，令得唯一解显然有最小值，而稳定点唯一，故该点即为最小值点，因此最小值为。例53（复旦大学1999）已知，其中。求在条件下的最小值。解Lagrange乘法函数为，求的所有一阶偏导数，并令其等于零得解之得21显然存在最小值，而稳定点唯一，故该点即

7、为最小值点，因此最小值为。或把条件看作隐函数，而目标函数看作是与的复合，记为，因此可用二元函数极值充分条件来判断。事实上，，，所以，稳定点为极小值点，显然没有最大值，故该点必为最小值点，其余同上。例54（中国科学院2001）设是由椭球面的切平面和三个坐标平面所围成的区域的体积，求的最小值。解椭球面上任一点的法向量为，因此过该点的切平面方程为，即，它与三个坐标轴的交点分别为，因此，切平面与坐标平面所围成的四面体的体积为，于是问题转化为：求函数在条件下的最大值。为此，构造Lagrange乘法函数，令其所有一阶偏导

8、数等于零得解之得把组解：，21根据计算可知的最大值为，由此可得。思考题16（北京航空航天大学2000）在曲面上求点，且，使该点的切平面与三个坐标平面围成的四面体的体积最小。思考题17（合肥工业大学）试证：曲面上任一点处的切平面与三坐标轴所围成的立体的体积为定植。思考题18（复旦大学1999）在曲面上求一点，使过该点的切平面在三个坐标轴上的截距平方和最小。思考题19（华东理工大学）证明：曲面上任一点的