多元函数微分学(1)(2)

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1、第八章多元函数微分学一基本概念极限：当点以任何方式趋于点时，函数值无限接近常数，则称是函数在点的极限，记作：。连续：如果，则称函数在点上连续。偏导数：设，函数在点关于变量的偏导数为。记作，或类似的，定义函数在点关于变量的偏导数为。记作，或偏导数的几何意义：是曲面与平面交线上的点的切线关于轴的斜率。类似解释几何意义。可微；如果函数在点是可微的，如果其中，是与无关的常数。全微分：函数的全微分：　　函数在点的全微分：二基本结论1．连续、偏导存在和可微三者关系（1）可微偏导存在，连续；（2）偏导存在和连续没有必然关系（3）偏导存在+偏导函数连续可微。2．二阶混合偏导连续，则二阶混合

2、偏导相等（偏导和顺序无关）。3．若二元函数在有界闭区域上连续，则（1）二元函数有界，即存在和，使得，。（2）可以取到最值：即，有，（3）有介值性和零点定理。4．一切多元初等函数在其定义域内是连续的。8.1二元函数极限、连续、偏导、可微题型1求二元函数极限的方法（1）转换成或看成一元函数的极限；（2）放大和缩小，利用夹逼法则；（3）原点的极限，可以作极坐标变换。例1求下列二元函数的极限：14（1）；（2）。解（1）根据无穷小与有界量的积是无穷小，则有．（2）令，，，则当时，有，任意．于是有。题型2证明极限不存在的方法（1）找一条通过极限点的路线（直线或曲线）使极限不存在（2）

3、找两条通过极限点的不同的路线（直线或曲线）使极限不相等例2证明下列二元函数在点的极限不存在：（1）；（2）。解（1）当点沿轴()路径趋近于时，有．当点沿路径趋近于时，有．因此，当时，的极限不存在(不趋于同一个常数)．（2）当点沿轴()路径趋近于时，有．当点沿路径趋近于时，有．因此，当时，的极限不存在(不趋于同一个常数)．题型3求函数的偏导数：两种方法，定义法和公式法。例3求在点的关于和的偏导数．解对变量求偏导数时，把看成常量，有．同样，对变量求偏导数时，将看成常量，有．于是有14，．例4求函数在点处的偏导数．解根据偏导数的定义，有；．于是，函数在点处关于偏导数等于零，关于的

4、偏导数不存在．题型4证明在点可微或不可微具体方法：（1）计算偏导数和；（2）计算和（3）求极限若等于0，则在点可微，否则不可微。例5讨论二元函数在点处的连续性、偏导存在性和可微性．解首先讨论连续性．由于，于是．因此，函数在点连续．其次讨论偏导存在性．根据偏导数的定义，有．14类似的得到，所以函数在点的两个偏导数都存在．最后讨论可微性．根据验证可微的具体方法，选取路径使，则有．于是，函数在不可微．题型5复合函数偏导数和高阶偏导数复合函数偏导数的公式，如果不利用内在规律去死记硬背，一般是很难掌握的，更不用说灵活运用了．那么这些公式究竟有什么规律，我们又怎样运用这些公式来计算复合

5、函数偏导数呢？1.明确复合函数的自变量、中间变量以及中间变量的个数如果复合函数是具体函数，中间变量的个数根据函数变量“个数”确定；如果复合函数是抽象函数，中间变量的个数根据函数的“项数”确定．例如，具体函数，，，可知自变量是，中间变量是，中间变量的个数是2个；抽象函数，，可知自变量是，中间变量是，中间变量的项数的个数是3个．2.链式求导法则求导法则：函数对某一自变量的偏导(全导)等于：该函数对第一个中间变量的偏导乘以第一个中间变量对此自变量的偏导(全导)，加这个函数对第二个中间变量的偏导乘以第二个中间变量对此自变量的偏导(全导)，等等直至加这个函数对最后一个中间变量的偏导乘

6、以最后一个中间变量对该自变量的偏导(全导)．上述的求导法则称为链式法则．我们运用这个法则，求复合函数的偏导数的方法称为链式求导法．3.关于中间变量的偏导的表示设函数，函数对的偏导可以表示为，和．在解题过程中，用表示比较方便．特别地，若中间变量不是单独一个字母，只能用位置来表示，即，这里的1表示第一个中间变量．4.关于中间变量的高阶偏导的表示14当对一阶偏导函数如的某自变量再求偏导时，把当作普通的函数符号，自变量和中间变量以及中间变量的个数和函数完全相同．对偏导函数的第几个中间变量求偏导，就在符号后面下角标添加数字和上角标添加偏导符号(撇)．如对的第二个中间变量求偏导，我们就

7、在后面下角标添加“2”和上角标添加“”，记作．例6设，具有二阶连续偏导数，求，．解令，，则．并引入记号，从而有；．再记，(由于具有二阶连续偏导数，所以二阶混合偏导相等)，，于是有．例7设，且具有二阶连续偏导数，求和．解根据链式法则，有．对偏导函数再对求偏导，有．对偏导函数再对求偏导，有14．注由于具有二阶连续偏导数，于是．题型6多元隐函数的偏导数和微分1由方程确定的一元隐函数：；2由方程确定的二元隐函数的导数：；3由方程组确定的一元隐函数组：和方法1对于抽象方程，对求偏导，用克莱姆法求；方法2对于具体方程，可以建立